Выгодная инвестиция

Условие задачи " Человеку дают два способа инвестирования ста долларов. Первый способ включает в себя увеличение по 20 долларов в год (100 нулевой год, 120 начало первого года, второй год 140, третий год 160 и т.д.) Второй способ увеличивает инвестицию по 30 долларов в первый год, 29 долларов на второй год и т.д. (100 нулевой год, начало первого года 130, второй год 159, третий год 177 долларов и т.д.)

Как долго нужно человеку ждать чтобы первая схема была выгоднее?
Ответы:
а) 15 лет
б) 20 лет
с) 22 года
д) 25 лет
е) 30 лет

Ответ: С

Собственно сам вопрос: как составить уравнение для второй схемы? Я понял, что первая схема это старая добрая арифметическая прогрессия

1 симпатия

Для первого способа у меня получилось уравнение :

\ce{y=100+20x}

Где \ce{y} - общая прибыль , \ce{x} - год.

Для второго способа у меня получилось уравнение :

\ce{y=100 + \frac{x}{2}(60 -(x - 1)}

Пояснение : здесь я обозначил \ce{(30 - x)} как прирост. Заметим что сам по себе прирост является арифметической прогрессией, и нам необходимо учитывать еще и сумму арифметической прогрессии :

\ce{(30-0) + (30-1) + (30-2) + ... +(30- x) = \frac{x}{2}(60 -(x - 1)) }

Исходя из условия, можно составить следующее уравнение с одним неизвестным:

100 + 20x > 100 +\frac{x}{2}(60 -(x - 1))

Отсюда \ce{x > 21} , значит человеку надо ждать как минимум 22 года, чтобы первая схема была выгоднее

6 симпатий

y = 100 + \sum_{i = 30 - x + 1}^{i \leq 30} i

y = 100 + (\sum_{i = 1}^{i \leq 30} i - \sum_{i = 1}^{i \leq 30 - x} i).

y = 100 + (30 * 31/2 - (30 - x) * (30 - x + 1)/2)

Просто с помощью арифметической прогрессии.

2 симпатии

Ко мне в голову пришла еще одна идея, которая требует лишь использование интегралов и производных (может будет интересно).

Обозначим прирост как k , а время как t. По условию, скорость изменения прироста по первой схеме постоянная. Другими словами, \frac{dk}{dt} = 20. В свою очередь, скорость прироста по второй схеме равна 30-t+1. Другими словами, \frac{dk}{dt} = 31 -t , где t = 1,2,3,...,+∞).

Перейдем к сути этого способа. Нам необходимо просуммировать (проинтегрировать) изменение прироста от одного до t , и в конце построить неравенство , основанное на условии задачи.

\int_{0}^{k_{1}}dk = 20 \int_{1}^{t} dt
k_{1} = 20t - 20
\int_{0}^{k_{2}} dk = \int_{1}^{t}(31 - t) dt
k_{2} = \frac{30^{2}}{2} - \frac{(31-t)^{2}}{2}

По условию, k_{1} > k_{2} , т.е. 20t - 20 > \frac{30^{2}}{2} - \frac{(31-t)^{2}}{2} . Отсюда t>21 , т.е. ответ 22 года.

3 симпатии