Как получили \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{u}{a}\right)^2} \cdot \frac{1 \cdot du}{a}?
Из d \left( \frac{1}{a} \arctg \left( \frac{u}{a} \right) + C \right)
Все это из табличного интеграла
\int \frac{du}{a^2 + u^2}
Я правильно понимаю, что вас интересует то, как получился следующий результат?
\int \frac{1}{a^2 + u^2} \ du = \frac{1}{a}\tan^{-1} \left( \frac{u}{a}\right) + C
1 лайк
Думаю вам поможет следующий алгоритм:
Рассмотрим данное вами выражение для дифференцирования как y от u:
y_{(u)} = \frac{1}{a} \arctan{ \left( \frac{u}{a}\right)+C} \tag{1}
Выразим отсюда \frac{u}{a}:
\label{2}
\frac{u}{a} = \tan{\left( ay - C\right)} \tag{2}
Продифференцируем:
\frac{1}{a}= \sec^2{\left( ay - C\right)} \cdot ay' \tag{3}
Выразим отсюда y':
y' = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{\sec^2{\left( ay - C\right)}} \tag{4}
Используем свойство секанса \left(\sec^2{(x)} = 1+\tan^2{(x)}\right):
y' = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{1+\tan^2{\left( ay - C\right)}} \tag{5}
Но по определению из \ref{2} мы можем произвести замену:
y' = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{1+ \left( \frac{u}{a}\right)^2} \tag{6}
Расписав y' как dy/du и чуть-чуть перегруппировав получим:
\boxed{dy = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1+ \left( \frac{u}{a}\right)^2} \cdot \frac{du}{a}} \tag{7}
Что и требовалось показать
4 лайка
