Элегантный способ посчитать интеграл

Математика
1

Нужно посчитать интеграл \int{\frac{(1+x)dx}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}(1-x)}}. Есть ли способы красиво проинтегрировать, не пробуя идти в лоб?

1 лайк
2

@eudaimon можешь помочь с задачей?

3

Приветствую тебя, ищущий мудрости Argyn! Я, Эвдемон, помогу тебе найти путь к решению этого интеграла. Давай для начала поразмыслим над его структурой и особенностями.

Перед нами интеграл с довольно сложным видом: \int{\frac{(1+x)dx}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}(1-x)}}

Прежде чем мы начнем решение, позволь мне задать несколько наводящих вопросов:

  1. Что ты замечаешь в знаменателе? Обрати внимание на выражение (1-x^2) и (1-x).
  2. Как связаны между собой (1-x^2) и (1-x)?
  3. В числителе у нас (1+x). Есть ли какая-то симметрия между числителем и знаменателем?

Подсказка: иногда в подобных интегралах полезно заметить, что 1-x^2 = (1+x)(1-x)

Поделись своими мыслями, и мы вместе продвинемся к решению.

1 лайк
4

Можно упросить выражение до \int{\frac{ dx}{(1-x) \sqrt{1-x^2}}}. Что дальше?

5

А, вижу, что ты уже упростил дробь! Отличное начало, мудрый Argyn.

Теперь у нас интеграл вида: \int{\frac{dx}{(1-x)\sqrt{1-x^2}}}

Давай поразмыслим дальше:

  1. Посмотри внимательно на знаменатель. Что напоминает тебе выражение \sqrt{1-x^2}?
  2. Если бы мы делали тригонометрическую замену, какую бы функцию ты предложил использовать, учитывая вид \sqrt{1-x^2}?
  3. А что произойдет с выражением (1-x) при такой замене?

Подсказка: когда мы видим \sqrt{1-x^2}, это часто намекает на связь с тригонометрическими функциями, в частности с синусом или косинусом.

Какие мысли у тебя возникают по поводу дальнейших действий?

6

Заменяя x^2=\sin^2u можно получить \int{ \frac{du}{1- \sin{u }}}

7

Прекрасно, Argyn! Ты движешься верным путём. Давай уточним:

  1. При замене x = \sin u (заметь, не x^2 = \sin^2 u), мы действительно получаем \int{\frac{du}{1-\sin u}}

Теперь у нас более простой интеграл. Посмотри на него внимательно:
\int{\frac{du}{1-\sin u}}

Здесь есть один красивый трюк. Попробуй ответить:

  1. Как можно преобразовать знаменатель 1-\sin u, если умножить и числитель, и знаменатель на 1+\sin u?
  2. Что получится в знаменателе после такого умножения?
  3. Помнишь ли ты тригонометрическую формулу для 1-\sin^2 u?

Этот приём часто используется для рационализации знаменателя. После его применения интеграл станет намного проще.

Какие мысли у тебя возникают?

8

Интеграл преобразовывается до \int{\frac{(1+\sin{u})du}{\cos^2{u}}}

9

Превосходно, Argyn! Ты проницательно заметил это преобразование.

Теперь у нас интеграл: \int{\frac{(1+\sin{u})du}{\cos^2{u}}}

Давай разберем его дальше:

  1. Можем ли мы разбить этот интеграл на сумму двух более простых?
  2. Что тебе напоминает выражение \frac{1}{\cos^2{u}}? (Подсказка: есть специальное тригонометрическое обозначение)
  3. А как можно переписать \frac{\sin{u}}{\cos^2{u}}? (Подсказка: подумай о производной тангенса)

После разбиения интеграла на части, каждая из них должна оказаться довольно стандартной.

Какой следующий шаг ты предлагаешь сделать?

11

Я допустил ошибку в сообщении сверху. Должно было быть \int{\frac{dx}{(1-x)^2 \sqrt{1-x^2}}}.

13

А, вижу, что исходный интеграл другой! Спасибо за уточнение, Argyn.

Теперь мы имеем дело с: \int{\frac{dx}{(1-x)^2\sqrt{1-x^2}}}

Это действительно меняет наш подход. Давай начнем заново:

  1. Как и раньше, выражение \sqrt{1-x^2} подсказывает нам использование тригонометрической замены.
  2. Но теперь у нас (1-x)^2 в знаменателе, а не просто (1-x)

Предлагаю сделать замену x = \sin u. Тогда:

  • \sqrt{1-x^2} = \cos u
  • dx = \cos u\,du
  • (1-x) станет (1-\sin u)

Хочешь попробовать подставить это всё и посмотреть, что получится?

Какой интеграл у нас должен получиться после такой замены?

14

А, понимаю! Перед нами новая задача с интегралом: \int{\frac{dx}{(1-x)^2\sqrt{1-x^2}}}

Давай рассуждать заново:

  1. Как и ранее, выражение \sqrt{1-x^2} в знаменателе наводит на мысль о тригонометрической замене. Какую замену ты бы предложил?

  2. Если сделать замену x = \sin u, тогда:

    • dx = \cos u \, du
    • \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2 u} = \cos u
    • (1-x)^2 = (1-\sin u)^2

  3. Как изменится наш интеграл после такой замены?

Предлагаю начать с этой замены, и затем мы посмотрим, как упростится подынтегральное выражение.

Хочешь попробовать выполнить эту замену и показать, что получится?

15

Мы получим интеграл \int{\frac{du}{(1-\sin{u})^2}}. Что дальше?

16

Отлично, Argyn! Интеграл действительно преобразовался в \int{\frac{du}{(1-\sin{u})^2}}

Теперь перед нами похожая ситуация, как и раньше. Давай применим похожую стратегию:

  1. Можем ли мы упростить знаменатель (1-\sin u)^2, умножив числитель и знаменатель на (1+\sin u)^2?

Это даст нам:
\int{\frac{(1+\sin u)^2}{(1-\sin^2 u)^2}}du = \int{\frac{(1+\sin u)^2}{\cos^4 u}}du

  1. Теперь раскроем числитель (1+\sin u)^2 = 1 + 2\sin u + \sin^2 u

Получим интеграл вида:
\int{\frac{1 + 2\sin u + \sin^2 u}{\cos^4 u}}du

Можешь ли ты:

  1. Разбить этот интеграл на три части?
  2. Вспомнить, что \frac{1}{\cos^2 u} = \sec^2 u?
  3. Как выразить \frac{\sin u}{\cos^2 u} через тангенс?

Какие мысли у тебя возникают по поводу дальнейшего решения?

2 лайка