Интегралы (basic int. form)

У меня тут появился вопрос:
Почему

\int\limits((1/x)-{1/x^2}-{1/x^3})dx = ln |x| + {1/x} + {1/2x^2} + c

Ведь по формуле

\int\limits (1/x) dx = ln|x| + c
2 симпатии


integration_of_xn

1 симпатия

когда степень n=-1, это частный случай, там будет натуральный логарифм ln(x). Но во всех остальных n считаешь как обычно (x^(n+1))/n+1

5 симпатий

Хорошо, но мне кажется эти формулы не можем использовать.

  1. n=1, а 1 делить на 0 нельзя
  2. У нас там n= -1 (1/x = x^-1
\int\limits(1:x-1:x^2 -1:x^3)dx = \int\limits\ 1:x * dx+ \int\limits 1:x^2 * dx + \int\limits 1:x^3 * dx

Но тут мы уже не можем использовать эту формулу.

Потому что

1/x = x^-1

Там у нас получится

(x^{-1+1}) / -1+1

n = -1 это частный случай!

1 симпатия

Аа,поэтому там просто ln(x)?

Да, ты всё правильно понял

1 симпатия

Хорошо, спасибо. Не думал что могут быть такие случаи, извиняюсь

Да да там n=-1, опечатка

1 симпатия

Это не совсем частный случай. Это скорее апроксимация. По мере того как n будет стремится к -1. Функция интеграла всё больше будет напоминать логарифмическую функцию(плюс константа🙃). Вот график:


P.S: (из за того что здесь нельзя отправлять гиф или видео советую самому попробовать записать эту функцию в десмосе)

Хорошо

Я бы так это не назвал. Можно без апроксимаций доказать, что (\ln x)^\prime = \displaystyle\frac{1}{x}.

@ErenYeger в латехе дроби можно указывать с помощью команды \frac{}{}, а умножение можно показать с помощью \cdot. Можешь еще посмотреть эту тему — Как писать формулы? Язык разметки LaTeX.

1 симпатия

Оо спасибо

Собственно, за что и люблю OCW:

2 симпатии