A long conducting cylinder is split into two halves parallel to its axis. The two halves are held at V0 and 0, There is no net charge on the system. Calculate the electric potential distribution throughout space
(у меня нет идеи, можете пожалуйста дать подсказку)
Многие задачи на нахождение распределения потенциала по цилиндру, сводится к решению уравнения Пуассона, откуда можно сделать вывод, что при наличии какого-либо заряда внутри цилиндра, уравнение сводится к:
\Delta^2\phi(r,\theta)=\frac{\rho}{\epsilon_0}
Так как у нас заряда нет, то оно будет равно 0, что приводит нас к решению уравнению Лапласа. Легче всего решать данную задачу естественно через цилиндрические координаты(также вы не берем в учет ось z, так как распределение потенциала от него никак не зависит:
\frac{1}{r}(r\frac{d\phi}{dr})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial \theta^2}=0
Дальше подставляя начальные условия, ответ должен выйти:
Иногда решение уравнение Лапласа сильно затрудняет решение, ведь мы не знаем наверняка как у функция зависят полярные координаты. Для этого я хотел бы предоставить готовый шаблон решения такого уравнения.(Но лучше самому научиться выводить данное уравнение):
f(r,\theta)= A +\sum_n[C_n cos (n\theta) + D_n \sin(n\theta)](B_n r^n + A_nr^{−n})
Для облегчения задачи, в силу симметрии и связи с условием, что (A_n r^n + B_nr^{−n}) работает только при \displaystyle\theta+\frac{\pi}{2}, мы его сокращаем. Осталось только подставить разные условия, что:
f(r,\theta)= \left\{
\begin{array}{ccc}
V_1 , \space \text{если}\space -\displaystyle\frac{\pi}{2} <\theta < \frac{\pi}{2} \\
V_2, \space \text {если} \space \displaystyle\frac{\pi}{2} <\theta < \frac{3\pi}{2} \\
\end {array}
\right.
5 лайков
Спасибо!