Электрическое поле с поверхностной плоскостью

Задача 5 . Бесконечно длинный круговой цилиндр радиусом R с равномерно заряженного электрическим полем с поверхностной плотностью σ. Найти давление электрического поля на боковую стенку. Считать известным k, π, R, σ.

Вот решил но как-то сомнительно.
image
(про е0 я позже исправлю)

2 симпатии

Короче как я понял здесь надо решить через интеграл потому что тебе говорят что у тебя бесконечно длинный цилиндр ты должен их взять как кольца и так решить. Если не ошибаюсь

Не думаю, что нужны интегралы для плоской поверхности, которая по сути тоже является бесконечной длины. Там макс можно взять лимиты для нахождения напряженности. По крайней мере, я так думаю

Единственно из твоего решения я могу сказать только одно: да, тебе нужно применить теорему гаусса для плоской поверхности. Но решение здесь чуть более глубокое.

F=\sigma ES, оно и понятно. Но что именно значит E? Не совсем то, что ты получил. Сила, действующая на заряд, равна произведению заряда на внешнее электрическое поле. И чтобы искусственно его посчитать, ты можешь по отдельности рассматривать элементарную площадку, на которую действует рассматриваемая нами сила, и весь остальной цилиндр без этой площадки. Этот остаточный цилиндр в окрестности площадки будет создавать поле E', направленное радиально, что для площадки это поле и является внешним. Сама же площадка создаёт поле E'', которое в пределе очень малых расстояний до неё имеет конфигурацию поля бесконечно большой плоскости (выведенная тобой первая формула). Суперпозиция этих полей даёт поле самого целого цилиндра (теоремой Гаусса вблизи поверхности получаем E=\sigma/\varepsilon_0, внутри поля нет). А значит внутри и вне цилиндра можно соответственно записать:

\begin{cases} E' - E'' = 0,\\E'+E''=E. \end{cases}

Сила равна p=\sigma E'=\displaystyle\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}. Кстати говоря, такой же ответ получается в случае с равномерно заряженной сферой.

Но вопрос, вообще говоря, очень хороший, и я не раз видел, как идея этой задачи может применяться в олимпиадах. Есть с этим связанная задача (которую можешь попробовать решить, если изучал силу Ампера)-- найти давление соленоида с током на боковую поверхность.

4 симпатии

Можно ли сказать, что

это внешняя напряженность цилиндра?

это внутренняя напряженность цилиндра?

Иродовский ад

  1. Да
  2. Нет, так как внутренняя напряжённость целого цилиндра равна нулю, а E’ является полем вблизи рассматриваемой площадки, но внутри цилиндра при условии, что поле площадки мы не учитываем.
1 симпатия

Значит ответ, все таки p=σE'=σ^2/2ε_0 , но по данным задания мы же должны еще радиус цилиндра учитывать

Это подвох) тем более методом размерности даже можно понять, что величина размерности «длина» вообще тут лишняя

1 симпатия

Даже обидно, что терял много на то, что мы должны учитывать радиус цилиндра. Его обязательно нужно использовать, если длина цилиндра мала(ну более реалистичная)?

1 симпатия

по идее да, эта задача превратится в задачу равномерно заряженного кольца, и там уже должна входить определённая комбинация толщины и радиуса

1 симпатия

Кстати я только заметил, что тут ПОИДИ по условию нету заряженной плоскости(я просто посмотрел на поверхностную плотность и подумал, что есть такая плоскость), тут на самом деле цилиндр заряжен. И там гуляет какой-то заряд. Поменяется ли решение, если тут уже такое условие?

Конечные пункты возможно поменяются, но сама идея нет: нужно найти поле действующее на площадку и оттуда искать давление

Какую площадку брать?

Нужно взять тонюсенькую полоску вдоль оси цилиндра, и найти E, действующее на него

1 симпатия

Все спасибо большое, решено

1 симпатия

Люблю такие задачи, так как у них много решений всегда, как у какой-нибудь теоремы Пифагора.

Я не физик, поэтому не знаю можно ли решить с помощью определения давления из термодинамики (производная энергии по объему с обратным знаком), но интересно было бы услышать критику от знающих физику

\displaystyle p=- \frac{\partial U}{\partial V}

Если я не ошибаюсь, как написано у Ландау и Лившица, энергию зарядов и поля, можно посчитать двумя способами, через взаимное действие зарядов друг на друга создаваемым полем, либо как сумму кинетической энергии зарядов и энергии электромагнитного поля

U = \frac{1}{2}\int \limits_{\text{all space}} \rho(r) \Phi(r) \, dV

Или

U = \int \limits_{\text{all space}} \frac{1}{2}\varepsilon_0\left|{\mathbf{E}}\right|^2 \, dV.

Т.к. цилиндр стоит на месте и никуда не собирается ехать, то для него можно просто энергию поля брать

\begin{gathered} U = \int \limits_{\text{all space}} \frac{1}{2}\varepsilon_0\left|{\mathbf{E}}\right|^2 \, dV = \int \limits_{r>r_{цил}} \frac{1}{2}\varepsilon_0\left|{\frac{r_{цил}\sigma}{\varepsilon_0 r}}\right|^2 \, dV= \\ = \int \limits_{r>r_{цил}} \frac{1}{2}\varepsilon_0\left|{\frac{r_{цил}\sigma}{\varepsilon_0 r}}\right|^2 \, dV =\frac{r_{цил}^2\sigma^2}{2 \varepsilon_0} \int \limits_{r>r_{цил}} {\frac{1}{r^2}}\, dV \end{gathered}

Я поступлю как редиска, но мне лень считать интеграл последний (хоть он и простейший) т.к. дальше мне надо будет брать от него производную по объему, и учитывать что сохраняется суммарный заряд (\sigma r = const), но ведь производная это естественное уничтожение интеграла, хехе… и можно получить сразу ответ. Он отрицательный просто потому что давление не внешнее для нашей системы.

P.S. Внимательные заметят, что у меня там бесконечная энергия выходит (лол), если хотите проверьте с предельным переходом, и всё будет чики-пуки

7 симпатий

не пугайте детей страшными формулами, они ещё к такому не готовы)

1 симпатия