Электрическое поле с поверхностной плоскостью

Физика Электромагнетизм
1

Задача 5 . Бесконечно длинный круговой цилиндр радиусом R с равномерно заряженного электрическим полем с поверхностной плотностью σ. Найти давление электрического поля на боковую стенку. Считать известным k, π, R, σ.

Вот решил но как-то сомнительно.
image
(про е0 я позже исправлю)

4 лайка
2

Короче как я понял здесь надо решить через интеграл потому что тебе говорят что у тебя бесконечно длинный цилиндр ты должен их взять как кольца и так решить. Если не ошибаюсь

3

Не думаю, что нужны интегралы для плоской поверхности, которая по сути тоже является бесконечной длины. Там макс можно взять лимиты для нахождения напряженности. По крайней мере, я так думаю

4

Единственно из твоего решения я могу сказать только одно: да, тебе нужно применить теорему гаусса для плоской поверхности. Но решение здесь чуть более глубокое.

F=\sigma ES, оно и понятно. Но что именно значит E? Не совсем то, что ты получил. Сила, действующая на заряд, равна произведению заряда на внешнее электрическое поле. И чтобы искусственно его посчитать, ты можешь по отдельности рассматривать элементарную площадку, на которую действует рассматриваемая нами сила, и весь остальной цилиндр без этой площадки. Этот остаточный цилиндр в окрестности площадки будет создавать поле E', направленное радиально, что для площадки это поле и является внешним. Сама же площадка создаёт поле E'', которое в пределе очень малых расстояний до неё имеет конфигурацию поля бесконечно большой плоскости (выведенная тобой первая формула). Суперпозиция этих полей даёт поле самого целого цилиндра (теоремой Гаусса вблизи поверхности получаем E=\sigma/\varepsilon_0, внутри поля нет). А значит внутри и вне цилиндра можно соответственно записать:

\begin{cases} E' - E'' = 0,\\E'+E''=E. \end{cases}

Сила равна p=\sigma E'=\displaystyle\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}. Кстати говоря, такой же ответ получается в случае с равномерно заряженной сферой.

Но вопрос, вообще говоря, очень хороший, и я не раз видел, как идея этой задачи может применяться в олимпиадах. Есть с этим связанная задача (которую можешь попробовать решить, если изучал силу Ампера)-- найти давление соленоида с током на боковую поверхность.

6 лайков
5

Можно ли сказать, что

это внешняя напряженность цилиндра?

это внутренняя напряженность цилиндра?

Иродовский ад

6
  1. Да
  2. Нет, так как внутренняя напряжённость целого цилиндра равна нулю, а E’ является полем вблизи рассматриваемой площадки, но внутри цилиндра при условии, что поле площадки мы не учитываем.
1 лайк
7

Значит ответ, все таки p=σE'=σ^2/2ε_0 , но по данным задания мы же должны еще радиус цилиндра учитывать

8

Это подвох) тем более методом размерности даже можно понять, что величина размерности «длина» вообще тут лишняя

1 лайк
9

Даже обидно, что терял много на то, что мы должны учитывать радиус цилиндра. Его обязательно нужно использовать, если длина цилиндра мала(ну более реалистичная)?

1 лайк
10

по идее да, эта задача превратится в задачу равномерно заряженного кольца, и там уже должна входить определённая комбинация толщины и радиуса

1 лайк
11

Кстати я только заметил, что тут ПОИДИ по условию нету заряженной плоскости(я просто посмотрел на поверхностную плотность и подумал, что есть такая плоскость), тут на самом деле цилиндр заряжен. И там гуляет какой-то заряд. Поменяется ли решение, если тут уже такое условие?

12

Конечные пункты возможно поменяются, но сама идея нет: нужно найти поле действующее на площадку и оттуда искать давление

Какую площадку брать?

Нужно взять тонюсенькую полоску вдоль оси цилиндра, и найти E, действующее на него

1 лайк
13

Все спасибо большое, решено

1 лайк
14

Люблю такие задачи, так как у них много решений всегда, как у какой-нибудь теоремы Пифагора.

Я не физик, поэтому не знаю можно ли решить с помощью определения давления из термодинамики (производная энергии по объему с обратным знаком), но интересно было бы услышать критику от знающих физику

\displaystyle p=- \frac{\partial U}{\partial V}

Если я не ошибаюсь, как написано у Ландау и Лившица, энергию зарядов и поля, можно посчитать двумя способами, через взаимное действие зарядов друг на друга создаваемым полем, либо как сумму кинетической энергии зарядов и энергии электромагнитного поля

U = \frac{1}{2}\int \limits_{\text{all space}} \rho(r) \Phi(r) \, dV

Или

U = \int \limits_{\text{all space}} \frac{1}{2}\varepsilon_0\left|{\mathbf{E}}\right|^2 \, dV.

Т.к. цилиндр стоит на месте и никуда не собирается ехать, то для него можно просто энергию поля брать

\begin{gathered} U = \int \limits_{\text{all space}} \frac{1}{2}\varepsilon_0\left|{\mathbf{E}}\right|^2 \, dV = \int \limits_{r>r_{цил}} \frac{1}{2}\varepsilon_0\left|{\frac{r_{цил}\sigma}{\varepsilon_0 r}}\right|^2 \, dV= \\ = \int \limits_{r>r_{цил}} \frac{1}{2}\varepsilon_0\left|{\frac{r_{цил}\sigma}{\varepsilon_0 r}}\right|^2 \, dV =\frac{r_{цил}^2\sigma^2}{2 \varepsilon_0} \int \limits_{r>r_{цил}} {\frac{1}{r^2}}\, dV \end{gathered}

Я поступлю как редиска, но мне лень считать интеграл последний (хоть он и простейший) т.к. дальше мне надо будет брать от него производную по объему, и учитывать что сохраняется суммарный заряд (\sigma r = const), но ведь производная это естественное уничтожение интеграла, хехе… и можно получить сразу ответ. Он отрицательный просто потому что давление не внешнее для нашей системы.

P.S. Внимательные заметят, что у меня там бесконечная энергия выходит (лол), если хотите проверьте с предельным переходом, и всё будет чики-пуки

11 лайков
15

не пугайте детей страшными формулами, они ещё к такому не готовы)

4 лайка