МФТИ 1976 Частота поглощаемого света в кристаллической решетке и газообразном состоянии

Физика Квантовая механика
1

image
image867×133 22.3 KB

Атом вещества с атомным весом A, жёстко закреплённый в кристаллической решётке, поглощает свет с частотой ν0. При какой частоте будет наблюдаться
поглощение в этом веществе, находящемся в газообразном состоянии? Масса протона равна mp.

Можете пожалуйста подсказать в чём тут дело? Я не понимаю из-за чего впринципе будет меняться частота

1 лайк
2

Я конечно не физик, но с этим вопросом вроде могу помочь. Для начало нужно понять как вообще вещества поглощяют квант света. У веществ, без разницы это молекула или атом, есть орбитали (соответственно, молекулярные и атомные орбитали) - занятые, на которых расположены электроны и еще свободные орбитали. Молекула/атом могут переходить в “возбужденное состояние”, когда электрон с занятой орбитали переходит на более высоколежащую по энергии орбиталь - свободную. Отсюда ясно, что для этого процесса нужно откуда-то взять эту разницу в энергии, где-то ее поглотить. Ну вот вещество берет и поглощает квант света с энергией hv
Если в твердом кристалле энергетическая разница это разница между энергией молекулярных орбиталей, то у изолированного газа это между атомными орбиталями

8 лайков
3

Т.к. конкретный атом и вещество не дается, то подобными вещами нужно пренебречь, и считать, что атом имеет одинаковые расстояния между уровнями как в газе, так и в веществе. Это конечно дикость, но без этой условности задачу не решить.

Скорее всего разница в том, что фотон передает импульс газообразному атому. А в кристалле фотон не может передать свой импульс жёстко закреплённому атому.

5 лайков
5

image
image960×1280 123 KB

С учётом передачи импульса атому фотоном тоже что-то не то получается

1 лайк
6

\sqrt{1+x} \approx 1+x/2 при малых x

1 лайк
7

Да, спасибо, ответ действиетльно получился, только расскладывать нужно было до третего члена и перед дискриминантом брать знак минус. Может вы могли бы объяснить, как здесь правильно выбрать подходящий корень?

IMG_20240303_122349
IMG_20240303_1223491920×2560 368 KB

Они получаются такими

1 лайк
8

Ну, во-первых, мы интуитивно чувствуем, что частота должна быть немногим больше, а не так, чтобы у фотона возникает энергия как вся энергия покоя нашего атома.

Во-вторых, решить еще можно было двумя более наглядными способами.

Первый способ: обозначим \Delta \nu = \nu-\nu_0, тогда получается такое выражение

\begin{gathered} \nu=\nu_0+\frac{\nu^2h}{2Am_pc^2}=v_0+\frac{(\nu_0+\Delta \nu)^2h}{2Am_pc^2}= \\ =\nu_0+\frac{\nu_0^2h}{2Am_pc^2}+\frac{\nu_0\Delta \nu h}{Am_pc^2}+\frac{\Delta \nu ^2h} {2Am_pc^2} \approx \nu_0\left(1+\frac{\nu_0 h}{2Am_pc^2}\right) \end{gathered}

Второй способ: вся задача очень сильно пахнет релятивизмом, но при этом мы почему-то пользуемся импульсом классическим, и из-за этого приближения у нас и возникают два корня. Решать сразу через релятивизм намного проще. E_0=m_0c^2 - энергия покоя атома в основном состоянии, E_{покой}=E_0+\Delta E=E_0+h\nu_0 энергия покоя для атома в возбужденном состоянии. После поглощения в газе, получаем.

\begin{gathered} E^2-p^2c^2=m^2c^4 \\ E_{газ}^2-h^2v^2=E_{покой}^2 \end{gathered}

Получаем сразу довольно удобную разницу между атомами в кристалле и газе.

\begin{gathered} (E_o+h\nu)^2-h^2\nu^2=(E_o+h\nu_0)^2 \\ \cancel{E_o^2}+2E_0h \nu+\cancel{h^2\nu^2}-\cancel{h^2\nu^2}= \cancel{E^2_0}+2E_0hv_0+h^2\nu_0^2 \\ v=v_0\left(1+\frac{v_0h^2}{2E_0}\right) \end{gathered}

Это буквально ответ, т.е. на самом деле в первом способе, пользуясь асимптотическим приближением, для классического приближения, мы случайно попадаем в более точный ответ, делая долгий математический крюк. В то время, как решение через релятивизм оказывается математически проще. Это иронично.

10 лайков