Момент импульса задача

Можете решить
image

скорость идущего вдогонку шарика определяется через скорость центра масс системы 2u (из сохранения импульса следует то, что скорость центра масс системы, [если в эту систему входят вообще все массы], постоянна в любой момент времени).

(4m+m+3m+4m)\cdot 2u = 4mv + (m+4m+3m)u \rightarrow\newline v = 4u.

теперь определим закон движения этого квадрата после неупругого удара шарика. это движение является одновременно:

  1. поступательным движением центра масс (из условия уже знаем, что это 2u).
  2. вращательным движением вокруг центра инерции.

“вокруг центра инерции” – это именно где? чтобы это выяснить, воспользуемся формулой для координаты центра масс \vec r_C = \frac{\displaystyle \sum m_i\vec r_i}{\displaystyle\sum m_i} (за начало берём центр квадрата):

x_c = \frac{4ml - 4m \cdot l/2}{12m}=l/6, \qquad y_c = \frac{ml + 4m\cdot l/2 - 3ml}{12m} = 0.

теперь можем вычислить момент инерции получившейся системы. относительно центра квадрата он будет равен

J_O = ml^2 + 4ml^2 + 3ml^2 + 4m\cdot((l/2)^2+(l/2)^2)=10ml^2.

однако нас более интересует момент инерции относительно центра масс. применение теоремы гюйгенса-штейнера даёт

J_C=J_O - 12m\cdot(l/6)^2=\displaystyle \frac{29}{3}ml^2

наконец, записываем сохранение момента импульса относительно центра инерции в лабораторной системе:

4mv\cdot \frac{l}{2} + mul - 3mul = J\Omega + m\cdot 2u\cdot l- 3m \cdot 2u\cdot l + 4m\cdot 2u\cdot\frac{l}{2},

или в системе покоящегося центра инерции:

4m(v-2u)\cdot \frac{l}{2} = J\Omega,

и получаем \Omega = \displaystyle\frac{18}{29} \frac{u}{l}.

p.s. в ответах задачника ошибка, у них написано 18/19

2 симпатии

рахмет

тут разве выходить ответ?

поправочка, v-u

1 симпатия