Понять не могу откуда взялась формула снизу?
Ещё не до конца понятно, что вообще происходит? Типа откуда эта кривая штука взялась, в Иродове не объясняется, ну либо я упустил. Помогите разобраться пожалуйста
2 лайка
Прочти в Сивухине. Там, вкратце говоря, приближённо рассчитывается дифракция с помощью принципа Гюйгенса-Френеля. То есть когда мы в случайный момент берём сферическую волну радиусом r от точечного источника, то мы рассматриваем этот волновой фронт как множество вторичных источников, излучения которых складываются в точке, наблюдаемой на расстоянии \rho от источника. Затем волновой фронт разделяется на множество концентрических сфер, центры которых находятся в точке наблюдения и радиусы которых дискретно увеличиваются каждый раз на \lambda/2 – в таком случае полное интегрирование по поверхности сводится к дискретному суммированию этих зон Френеля, каждая из которых в свою очередь приближённо интегрируется.
В твоём скрине весь волновой фронт распространяется от источника P_0 до сферы радиусом a. А поскольку зоны Френеля разделяются так, что этот волновой фронт делится на колечки, высеченные этими сферами (радиусы которых меняются от OP\equiv b до b+m\lambda/2) с центром в точке P, тогда суммарное количество зон (т.е. m\lambda/2) укладывается в небольшой отрезок радиусом OC.
6 лайков
спасибо, кажется стало чуточку яснее. Видимо быстро и качественно не получится, придётся читать Сивухина…
1 лайк
@eudaimon что изображено на картинке, которую отправил Роман?
1 лайк
@Anton, на картинке, отправленной Романом, изображён принцип расчёта зон Френеля. Это графическое представление используется для объяснения дифракции света, основываясь на принципе Гюйгенса-Френеля. Точка A является источником световых волн, которые распространяются в пространстве. Точка P_0 и P относятся к двум различным позициям на прямой, где P является точкой наблюдения, а расстояние между P_0 и P обозначено как b .
Линия AB показывает волновой фронт, который достигает точки B , и этот фронт разделён на зоны с помощью линий AC и BC , где h_a + h_b = m\lambda/2 . Здесь m - номер зоны Френеля, \lambda - длина волны света, а h_a и h_b - расстояния в пределах одной зоны Френеля. Концепция зон Френеля используется для объяснения интерференционной картины, возникающей при дифракции света на краю препятствия или отверстия.
@eudaimon Я не знаком с принципом Гюйгенса-Френеля. Можешь объяснить откуда он берется? Я знаю, что свет это электромагнитные волны, которые описываются уравнениями Максвелла. На этом, в принципе все. Можешь смело использовать математический аппарат (в т.ч. vector calculus) если это нужно.
1 лайк
@Anton, принцип Гюйгенса-Френеля является фундаментальным в оптике и дифракции. Он утверждает, что каждая точка на волновом фронте является источником вторичных волн, известных как элементарные волны, и что волновой фронт в любой последующий момент времени образуется суперпозицией этих волн.
Свет, как ты правильно заметил, является электромагнитной волной, и уравнения Максвелла предоставляют полное математическое описание его распространения. Для волновой оптики принцип Гюйгенса-Френеля можно рассматривать как приближенное решение волнового уравнения, которое является частью уравнений Максвелла.
Давай рассмотрим уравнения Максвелла для вакуума, где нет зарядов и токов:
\nabla \cdot \mathbf{E} = 0
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
где \mathbf{E} - электрическое поле, \mathbf{B} - магнитное поле, \mu_0 - магнитная проницаемость вакуума, \epsilon_0 - электрическая постоянная.
Применяя оператор ротор к обоим сторонам уравнения для \nabla \times \mathbf{E} и используя тот факт, что \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E}, а также учитывая, что \nabla \cdot \mathbf{E} = 0, получаем волновое уравнение для электрического поля:
\nabla^2\mathbf{E} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}
Аналогично можно получить волновое уравнение для магнитного поля.
Решение этих уравнений покажет, как волны распространяются в пространстве и времени. Принцип Гюйгенса-Френеля предоставляет наглядный способ понимания этого распространения для ситуаций, когда волновой фронт встречает преграды. Он объясняет, как волновой фронт преобразуется, достигая, например, края экрана, что приводит к явлению дифракции.
Несмотря на свою приближенность, принцип Гюйгенса-Френеля остается мощным инструментом для понимания и предсказания дифракционных паттернов в оптике, особенно в ситуациях, где точное решение уравнений Максвелла становится математически сложным или невозможным.
@eudaimon покажи решение волнового уравнения для электрического поля и объясни как именно принцип Гюйгенса-Френеля позволяет понять это уравнение.
1 лайк
@Anton, решение волнового уравнения для электрического поля в свободном пространстве для монохроматической волны часто представляется в виде плоской волны:
\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}
где \mathbf{E}_0 - амплитуда волны, \mathbf{k} - волновой вектор, указывающий направление распространения и имеющий величину, равную волновому числу, \mathbf{r} - радиус-вектор, указывающий положение в пространстве, \omega - угловая частота волны, а i - мнимая единица.
Это решение описывает распространение электромагнитной волны во времени и пространстве, без каких-либо препятствий и дифракционных эффектов.
Для понимания дифракции, принцип Гюйгенса-Френеля рассматривает каждую точку на волновом фронте как источник вторичных волн, и эти вторичные волны интерферируют друг с другом. В результате интерференции формируется новый волновой фронт.
Математически это описывается интегралом по волновому фронту:
\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi}\int_{S} \left( \frac{1}{\lambda} \right) \mathbf{E}(\mathbf{r}', t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c}) \frac{e^{i k |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} dS
где интегрирование производится по волновому фронту S, \mathbf{r}' - радиус-вектор источника вторичных волн на волновом фронте, и |\mathbf{r} - \mathbf{r}'| - расстояние между точкой источника вторичной волны и точкой наблюдения.
Принцип Гюйгенса-Френеля позволяет объяснить как дифракция изменяет направление распространения волн, создавая характерные интерференционные узоры, которые мы наблюдаем, например, при прохождении света через узкую щель или вокруг препятствий. Это объяснение уместно, когда точное решение уравнений Максвелла становится непрактичным.
Я не совсем понимаю что за вторичные волны. Откуда они берутся?
1 лайк
@Anton, вторичные волны в принципе Гюйгенса-Френеля - это идеализированное представление, позволяющее нам моделировать распространение света через различные среды и объяснять явления дифракции и интерференции. Эти волны представляют собой воображаемые волны, которые испускаются каждой точкой волнового фронта первичной волны.
Представьте, что волновой фронт света - это линия или поверхность, состоящая из бесконечного количества точек. Согласно Гюйгенсу, каждая из этих точек генерирует свою собственную волну, которую мы называем вторичной волной. Все вторичные волны распространяются вперед с той же скоростью, что и первичная волна, и имеют ту же частоту и длину волны.
Когда вторичные волны распространяются, они накладываются друг на друга (интерферируют), и именно это взаимодействие формирует новый волновой фронт. В областях, где вторичные волны приходят в фазе, они усиливают друг друга, в то время как в областях, где они приходят в противофазе, они ослабляют друг друга. Это интерференционное взаимодействие и создает явления, такие как дифракционные узоры.
Важно понимать, что вторичные волны - это математический конструкт, позволяющий нам предсказывать поведение световой волны; они не являются физическими волнами в том смысле, что мы не можем наблюдать их отдельно от первичной волны. Этот принцип - один из способов объяснить, как световые волны могут изгибаться вокруг препятствий и проходить через узкие отверстия, формируя сложные узоры, которые мы видим при дифракции.
Я понял, что это математический инструмент для более простого описания физического явления. Но какой физический (реальный) механизм диффракции в случае когда свет проходит через узкие отверстия? Говори конкретными словами.
1 лайк
@Anton, физический механизм дифракции света, проходящего через узкие отверстия, связан с волновой природой света, описываемой уравнениями Максвелла. Когда световая волна достигает узкого отверстия, края отверстия становятся точками, в которых световая волна изменяет направление своего распространения.
Для понимания этого процесса представьте, что когда волна достигает отверстия, она по сути сталкивается с препятствием, которое блокирует часть волнового фронта. Только та часть волны, которая проходит через отверстие, может продолжить свой путь. Точки на краях отверстия ведут себя как источники новых волновых фронтов, которые распространяются во всех направлениях от этих точек - это и есть физический процесс, который мы математически описываем с помощью вторичных волн в принципе Гюйгенса-Френеля.
Эти новые волновые фронты, исходящие от краев отверстия, начинают интерферировать друг с другом. В результате интерференции волны могут усиливать друг друга в некоторых направлениях и ослаблять - в других, что приводит к характерному дифракционному узору, состоящему из светлых и темных полос или колец.
Таким образом, физический механизм дифракции заключается в изменении направления распространения волнового фронта света при прохождении через отверстия и последующей интерференции волн, вышедших из этих отверстий. Это приводит к тому, что свет распространяется в области, которые были бы в тени, если бы свет вел себя исключительно как частица.
1 лайк
То есть все такие вторичные волны существуют, просто они образуются именно в точке отверстия, где происходит изгиб изначальной волны?
3 лайка
@Anton, вторичные волны, о которых идет речь в принципе Гюйгенса-Френеля, являются удобной концепцией для описания того, как волна деформируется при прохождении через отверстие. В физической реальности мы не имеем отдельно существующих вторичных волн; скорее, у нас есть изменение волнового фронта основной волны, вызванное взаимодействием света с краями отверстия.
Когда световая волна встречает отверстие, часть волны блокируется, а часть проходит через отверстие. Волна, проходящая через отверстие, изменяет свое направление и форму, изгибаясь вокруг краев. Эти изогнутые края волнового фронта действуют подобно новым источникам волн, которые излучают свет в новых направлениях. Это и есть реальный физический процесс, стоящий за концепцией вторичных волн.
Таким образом, вторичные волны – это способ визуализации того, как части волнового фронта, проходящие через отверстие, становятся источниками новых волновых фронтов, которые взаимодействуют друг с другом, создавая дифракционную картину. Это явление объясняет, почему свет не распространяется строго прямолинейно и способен обходить препятствия, создавая узоры света и тени за отверстием.
1 лайк