Овчинкин 5.19, шарик на нити

[Argyn (Argyn Seitkamit)]

5.19. Шарик массы m с зарядом Q висит на легкой нити длины L. На одном уровне с ним на расстоянии l_0 помещен другой неподвижный шарик с таким же зарядом. Определить угол отклонения первого шарика от вертикали \phi_0 (рис. 87). Найти также период его малых колебаний. Считать, то электрические силы невелики по сравнению с силой тяжести.

Пытался решить так:

mg\varphi_0=\frac{Q^2}{\left( l_0+L\varphi_0 \right)^2} \approx\ \frac{Q^2}{ l_0^2\left( 1+\frac{2L \varphi_0}{l_0}\right)}

Решил квадратное уравнение, но ответ не сходится. Возможно просто сильно туплю, можете помочь?

[Damir (Yekibayev Damir)]

Уравнение движения шарика висящего на нити записывается как

m\ddot \varphi L=\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0(l_0+L\varphi)^2}-mg\varphi

По сути то что ты написал это верно

@Argyn

mgφ0​=(l0​+Lφ0​)2Q2​≈ (1+l0​2Lφ0​​)Q2l02​​

При условии \varphi=\varphi_0 - положение равновесия, у тебя обнуляется \ddot \varphi \rightarrow \ddot \varphi\bigg|_{\varphi=\varphi_0}=0. Поэтому да, силы будут равны. Здесь тебе еще осталось сделать дополнительное приближение:

\frac{Q^2}{l_0^2\left(1+\frac{2L\varphi_0}{l_0}\right)}\approx \frac{Q^2}{l_0^2}\left(1-\frac{2L\varphi_0}{l_0}\right)

Если что приближение было на основе (1+x)^{\gamma}\approx1+\gamma x\quad (|x|<<1)

[PoMa (Roman Cheremnov)]

а как это приближение вышло? меня пугает что размерность была \frac{Кл^2}{м^2}, а стала Кл^2 м^2, там не должно быть так \frac{Q^2}{l_0^2(1+\frac{2L\varphi_0}{l_0})}?

[Damir (Yekibayev Damir)]

Да там опечаточка, \frac{Q^2}{l_0^2}

[Damir_K (-6)]

Вопрос в ответе от задачника куда они дели 4 \pi ε0

[Damir (Yekibayev Damir)]

Они в СГС дали