Сивухин т.1 параграф 37 задача 26

Физика Механика
1

Гладкий твердый стержень длины l_0 и массы M равномерно вращается с угловой скоростью \omega_0 вокруг неподвижной оси, проходящей через один из концов стержня перпендикулярно к его продольной оси. На стержень надет шарик массы m. Вначале шарик находится на свободном конце стержня и вращается вместе с ним (упор, имеющий на конце стержня, не позволяет шарику соскользнуть со стержня). В некоторый момент шарику сообщается скорость v, направленная вдоль стержня к оси вращения. Определить наименьшее расстояние l, до которого приблизится шарик к оси вращения, и угловую скорость системы \omega в этом положении. В какую сторону будет изогнут стержень, когда шарик движется по направлению к оси вращения? Как изменится изгиб стержня, когда шарик, достигнув наименьшего удаления до оси, начнет двигаться в обратном направлении?

2024-11-05_22-01-55
2024-11-05_22-01-551638×822 161 KB

Мое решение:
Кинетическая энергия системы растет за счет кин. энергии тела:

\frac{mv^2}{2}+\frac{I_0\omega_0^2}{2}=\frac{I\omega^2}{2}

Из закона сохранения момента импульса:

I_0\omega_0=I\omega

Таким образом, получаем:

mv^2+I_0\omega_0^2=I_0\omega_0\omega

Учитывая, что I_0=(\frac{1}{3}M+m)l_0^2, получаем

\omega=\omega_0+\frac{mv^2}{(1/3M+m)l_0^2\omega_0}

Но когда я попытался найти l, учитывая I=1/3Ml_0^2+ml^2, вышло значение не как в ответе:

l^2=\frac{l_0^2}{m}[(1/3M+m)\frac{\omega_0}{\omega}-1/3M]

Где я ошибся? Или быть может в Сивухине опечатались?

2

В действительности, вы решили все правильно, в книге опечатка. То есть мы использовали формулу где I = \dfrac{I_0 \omega_0}{\omega}
И при подставлении значения I_0, выходит:
I = \dfrac{\omega_0 }{\omega} ( \frac{1}{3} M l_0^2 + m l_0^2)
И подставляя в формулу: I = \frac{1}{3} Ml_0^2 + ml^2
Получаем такой же ответ как у вас, то есть в книге в начале просто не умножили дробь \dfrac{\omega_0}{\omega} и у них все сократилось, и лишь в конце они будто бы добавили это слогаемое, покажу как примерно случилась эта ошибка:
I = \frac{1}{3} M l_0^2 + ml^2
I = I_0
\frac{1}{3} M l_0^2 + ml_0^2 - \frac{1}{3} Ml_0^2 = ml^2
Все сократилось, и лишь потом они добавили \dfrac{\omega_0}{\omega}
И уних получился ответ как в книге:
l = l_0 \sqrt{\dfrac{\omega_0}{\omega}}

В итоге дело было в опечатке, а у вас приавльно. Надеюсь смогла помочь, удачи:)

1 лайк