Вроде очевидно, что при наличии “плохой” оси симметрии в электрических цепях (когда ось симметрии геометрической фигуры не совпадает с положительным и отрицательными полюсами источника тока), значение силы тока такое же, а направление ровно противоположное относительно этой оси.
Но как это формально доказать? И еще: как формально доказать, что потенциалы точек, принадлежащих “плохой” оси всегда равны?
1 лайк
Интересный вопрос.
Имеешь в виду, что если взять два симметричных относительно “плохой” оси резистора, то их силы тока равны, однако у одного резистора он течёт в сторону оси, а у второго – от неё? Приведи какой-нибудь базовый пример цепи с “плохой” осью, давай на конкретном примере сначала проанализируем, прежде чем прийти к формальному доказательству
Да, именно это и имею ввиду. Ну допустим квадрат, на каждом отрезке которого резисторы одинакового сопротивления. Источник подключен следующим образом, ось симметрии фигуры не проходит через них:
1 лайк
По идее такая задача была на Туймааде, 2006 год вроде. Эквивалентное сопротивление треугольником-звездой находим. Но если надо распределение токов поискать, то можно брутфорсом сделать) 9 уравнений первого правила + 12 уравнений второго правила Кирхгофа. Это к слову о том, каким образом мы хотим формально это показать. Хотя мне довольно интересно попробовать найти это распределение токов и самому убедиться в твоём утверждении, я сам ещё не пытался в лоб такую задачу решить.
2 лайка
Спасибо, гляну!
Вообще, мне на смене отделения физики говорили, что где-то в каком-то кванте есть, но я не нашел:(
В общем, сейчас поиграемся:
a_{3, 3} = 0,\quad a_{2, 1} = 1,\\
a_{1, 1} - a_{1, 2} = y_{1, 1},\quad a_{1, 2} - a_{1, 3} = y_{2, 1},\\
a_{2, 1} - a_{2, 2} = y_{1, 2},\quad a_{2, 2} - a_{2, 3} = y_{2, 2},\\
a_{3, 1} - a_{3, 2} = y_{1, 3},\quad a_{3, 2} - a_{3, 3} = y_{2, 3},\\
a_{1, 1} - a_{2, 1} = x_{1, 1},\quad a_{2, 1} - a_{3, 1} = x_{2, 1},\\
a_{1, 2} - a_{2, 2} = x_{1, 2},\quad a_{2, 2} - a_{3, 2} = x_{2, 2},\\
a_{1, 3} - a_{2, 3} = x_{1, 3},\quad a_{2, 3} - a_{3, 3} = x_{2, 3},\\
y_{1, 1} + x_{1, 1} = 0,\quad x_{2, 1} = y_{1, 3},\quad y_{2, 1} = x_{1, 3},\\
y_{1, 1} = y_{2, 1} + x_{1, 2},\quad x_{1, 2} + y_{1, 2} = y_{2, 2} + x_{2, 2},\\
x_{2, 2} + y_{1, 3} = y_{2, 3},\quad x_{1, 3} + y_{2, 2} = x_{2, 3}.
Здесь a_{i,j} у меня потенциал в заданной точке, где (i,j)=(1,1) в нижней левой точке, i возрастает вправо, j возрастает вверх. x_{i,j} по моему соглашению течёт строго слева направо, и левый узел от x_{i,j} есть a_{i,j}. Аналогично с y_{i,j}, но нижнему к него узлу соответствует обратное a_{j,i}. В общем это неважно, в конце я всё равно покажу рисунок.
Вектор неизвестных \mathbf{X} выражается как:
\mathbf{X} = (
a_{1,1},\space a_{2,1},\space a_{3,1},\space
a_{1,2},\space a_{2,2},\space a_{3,2},\space
a_{1,3},\space a_{2,3},\space a_{3,3},\\
x_{1,1},\space x_{2,1},\space x_{1,2},\space x_{2,2},\space x_{1,3},\space x_{2,3},\\
y_{1,1},\space y_{2,1},\space y_{1,2},\space y_{2,2},\space y_{1,3},\space y_{2,3}
)^T
А матрица коэффициентов, гспдбжмй:
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}
0&0&0&0&0&0&0&0&1& 0&0&0&0&0&0& 0&0&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0&0&0&0&0& 0&0&0&0&0&0& 0&0&0&0&0&0\\
1&0&0&-1&0&0&0&0&0& 0&0&0&0&0&0& -1&0&0&0&0&0\\
0&0&0&1&0&0&-1&0&0& 0&0&0&0&0&0& 0&-1&0&0&0&0\\
0&1&0&0&-1&0&0&0&0& 0&0&0&0&0&0& 0&0&-1&0&0&0\\
0&0&0&0&1&0&0&-1&0& 0&0&0&0&0&0& 0&0&0&-1&0&0\\
0&0&1&0&0&-1&0&0&0& 0&0&0&0&0&0& 0&0&0&0&-1&0\\
0&0&0&0&0&1&0&0&-1& 0&0&0&0&0&0& 0&0&0&0&0&-1\\
1&-1&0&0&0&0&0&0&0& -1&0&0&0&0&0& 0&0&0&0&0&0\\
0&1&-1&0&0&0&0&0&0& 0&-1&0&0&0&0& 0&0&0&0&0&0\\
0&0&0&1&-1&0&0&0&0& 0&0&-1&0&0&0& 0&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&1&-1&0&0&0& 0&0&0&-1&0&0& 0&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0&1&-1&0& 0&0&0&0&-1&0& 0&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0&1&-1& 0&0&0&0&0&-1& 0&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0&0&0& 1&0&0&0&0&0& 1&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0&0&0& 0&0&-1&0&0&0& 1&-1&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0&0&0& 0&1&0&0&0&0& 0&0&0&0&-1&0\\
0&0&0&0&0&0&0&0&0& 0&0&1&-1&0&0& 0&0&1&-1&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0&0&0& 0&0&0&0&-1&0& 0&1&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0&0&0& 0&0&0&1&0&0& 0&0&0&0&1&-1\\
0&0&0&0&0&0&0&0&0& 0&0&0&0&1&-1& 0&0&0&1&0&0
\end{pmatrix}
Ну и в заключение \mathbf{b} = (0,\space1,\space0,\space0,\space0,\space0,\space0,\space0,\space0,\space0,\space0,\space0,\space0,\space0,\space0,\space0,\space0,\space0,\space0,\space0,\space0)^T
Используя эту матрицу, пишем код на Питоне, получаем:
a_{1,1}=24/29,\quad
a_{2,1}=1,\quad
a_{3,1}=21/29,\\
a_{1,2}=19/29,\quad
a_{2,2}=18/29,\quad
a_{3,2}=13/29,\\
a_{1,3}=15/29,\quad
a_{2,3}=11/29,\quad
a_{3,3}=0,\\
x_{1,1}=-5/29,\quad
x_{2,1}=8/29,\\
x_{1,2}=1/29,\quad
x_{2,2}=5/29,\\
x_{1,3}=4/29,\quad
x_{2,3}=11/29,\\
y_{1,1}=5/29,\quad
y_{2,1}=4/29,\\
y_{1,2}=11/29,\quad
y_{2,2}=7/29,\\
y_{1,3}=8/29,\quad
y_{2,3}=13/29.
Суммарный ток равен 24U/29r, то есть эквивалентное сопротивление R=29r/24 – прямо как в ответе из Туймаады!
А теперь к вопросу о “плохой” оси – что-то я не вижу этого утверждения налицо. Связано ли это как-то с парой резисторов, через которые протекают 5/29 и 11/29 единиц тока?
17 лайков
Құдай сақтасын не мнау?
3 лайка
ОМГ…
Скорее всего не связано. Я бы провел линию симметрии по диагонали и положил, что соответствующие токи равны, а направления ровно противоположные относительно этой оси, но это неверно. Конкретно в этой задаче нужно действительно искать эквивалентное сопротивление.
Я нашел методичку М.Ю. Замятнина - он там пишет, что “плохая” симметрия, о которой я говорил - это когда:
"Ось симметрии схемы проходит посередине между контактами. Если мы мысленно развернём рисунок с ней на 180 градусов вокруг осиметрии, то получим исходную схему, но с противоположной полярностью, в которой все токи изменят свое направление, но по модулю не изменятся. Для каждой пары симметричных резисторов токи через резисторы равны, но направлены в разные стороны по отношению к оси (не как в зеркале). "
В той же методичке, я не нашел доказательства почему это так. Вообще, звучит, возможно, как частный случай звезды-треугольника, но я помню, что точно было еще другое объяснение.
1 лайк
