Пусть x, y, z — положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите, что 1/x + 1/y + 1/z >= 9.
значит x + y + z = 1
x,y,z > 0
а дальше что нужно делать?
использовать неравенство между средним ариф и геометрическим??
(a+b+c) / 3 >= 3 кубический корень(abc) ???
Попробуй использовать арифметическое с гармоническим или Буняковского
Функция 1/ x смотрит вниз значит :
(f(x) +f(z) +f(y))/3 > f((x+y+z) /3))
( 1/ x +1/y 1/z)/3 > 1/((x+y+z)/3)
Значит 1/ x+ 1/y 1/z >9
Это видео классно обьясняет эту технику https://youtu.be/TfY3peS6OtE
наверное в математике так нельзя, но все же, типо вторая производная функции 1/х на отрезке (0;1) больше 0, то есть скорость ее убывания замедляется, тогда например |1/(0.5-a)-1/0.5|>|1/(0.5+a)-1/0.5|(a<0.5). Возьмем что х=у=z=1/3, тогда наша сумма равна девяти. теперь если мы, например, увеличим х, то на такую же величину надо уменьшить у, и исходя из приведенного выше факта сумма от этого увеличится, то есть в любом случае больше 9
Арифметическое и гармоническое даёт решение, да
Ну все верно вторая производная везде в положительных значениях больше нуля, значит утверждение
Верно
Насколько помню в видео на которое я давал ссылку это доказывалось
(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)≥(1+1+1)²
(1/x+1/y+1/z)≥9
Буняковским тоже можно
Используя следствие кбш мы можем доказать, что
1^2/x+1^2/y+1^2/z>=(1+1+1)^2/x+y+z
Но так как x+y+z=1 , то требуемое доказано
На самом деле это определение вогнутой функции (она же concave, она же «смотрит вниз»).
Функция называется вогнутой на определенном промежутке если \forall x, y на этом промежутке при \forall p \in [0, 1] справедливо: f(px+(1-p)y) \geq pf(x)+(1-p)f(y).
Если я не ошибаюсь, в русскоязычной литературе такую функцию называют вогнутой или выпуклой вверх.
Не думаю, что это очень важно, но просто чтобы не запутаться в названиях.
Можно доказать это используя только неравенство AM-GM.
Домножим изначальное неравенство слева на (x+y+z), правая часть остается такой же.
Мотивация перед таким действием: во всех классических неравенствах (включая неравенство о средних) все части неравенства имеют одинаковую степень.
В изначальном неравенстве - слева степень -1, справа степень 0.
Домножив на (x+y+z) слева, получим одинаковые степени с обеих сторон.
Раскрывая скобки и группируя:
(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(x+y+z) \geq 9 \iff (\frac{y}{x} +\frac{x}{y})+ (\frac{y}{z} +\frac{z}{y}) + (\frac{x}{z} +\frac{z}{x}) \geq 6
Последнее равенство верно в силу факта: \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq2 для положительных a,b.
Выпуклой вниз)
ED: А нет, тьфу емае, concave это другое, оказывается.
тьфу, меня вики подвела. Забавно, что если открыть страницу concave function и перейти с нее на русскоязычную версию откроется страница для выпуклой функции (там идет перенаправление с вогнутой, но кто-ж мелкий текст читает)