система F подмножеств \Omega называется алгеброй подмножеств \Omega, если:
(A, B \subset \Omega)
(1) A \in F \Rightarrow \overline{A} \in F
(2) A, B \in F \Rightarrow A \cup B \in F
Ясно, что для конечного A_1, ..., A_n \in F выполняется \bigcup_{k=1}^n A_k \in F
Утверждение. Для неконечного числа A_k, такое не верно
Не получается это показать ;(
Контрпример:
Пусть \Omega = \mathbb{N} и F - система всех подмножеств \Omega
(1) и (2) верны
Число A_k бесконечно и \bigcup_{k=1}^n A_k = \mathbb{N}, что входит в эту алгебру
Непон ;(
\Omega = N \in F же
В вопросе имено виду \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k может не принадлежать F
Пример, когда \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k не принадлежит F:
Пусть:
\Omega = \mathbb{N}
F = все конечные подмножества \mathbb{N} и их компоненты
Возьмём последовательность A_k = 2k для всех натуральных k
Их объединение есть множество положительных нечётных. Оно не входит F, так как в нем только конечные множества или множества с конечным компонентом.