Как известно, отображение f: \R^2 \rightarrow \R^2 (соответственно f: \R^3 \rightarrow \R^3)
называется движением, если оно сохраняет расстояния между точка-
ми: если p и q –– точки в \R^2 (соответственно \R^3), то | f (p), f (q)| = |p, q|
(через |AB| или |A, B| мы будем обозначать расстояние между точками
A и B). Иногда вместо «движение» говорят «перемещение».
Задача 1. Пусть f: \R^2 \rightarrow \R^2 –– отображение, сохраняющее рассто-
яния между точками. Докажите, что f инъективно, то есть «не скле-
ивает разные точки» (если P \neq Q, то f(P) \neq f (Q)), и сюръективно, то
есть f(\R^2) = \R^2 (каждая точка плоскости является чьим-то образом).
Аналогичное утверждение верно и для отображений f: \R^3 \rightarrow \R^3.
Взаимно однозначные отображения f : X \rightarrow Y , отображающие X
на Y, обычно называют биекциями.
Инъективность доказал, но вот с сюръективностью нет никаких идей.
Была идея посмотреть на |f(P), P|, но понял, что это не константа из-за возможности вращения плоскости и симметрий.
Доказательство инъективности: \text{Let } P \neq Q \text{. Suppose } f(P) = f(Q) \implies |f(P), f(Q)| = 0 \implies |P, Q| = 0 \text{ (by definition of } f) \implies P=Q \text{ (by axioms of distance); So our suppose that } f \text{ is not injective is false.}
Пусть B = Br(0, R) - закрытый шар с радиусом R (вроде не важно открытый или закрытый)
Теперь мы как бы “переносим” центр шара из точки 0 \to f(0) при этом радиус шара останется R и тогда можно будет взять R сколь угодно большим и покрыть все пространство
То есть нужно доказать, что отображение f: B \to Br(f(0), R) - сюръективно (Можно сначала попробовать на прямой f: \mathbb R \to \mathbb R)
Рассмотрим три точки не лежащие на одной прямой ABC и их образы A_1B_1C_1. Возьмем произвольную точку D_1. Из точек A, B,C построим окружности радиусов A_1D_1, B_1D_1, C_1D_1 соответственно полученная точка в пересечении как раз и является прообразом точки D_1
А че разве сюръективность не следует из того, что функция определена на \mathbb{R}^2 и при этом инъективна?
Нельзя как-то порассуждать, что, мол, положим \exists y \in \mathbb{R}^2 так, что \forall x \in \mathbb{R}^2\; f(x)\neq y. Тогда должны существовать x_1 и x_2\neq x_1 такие, что f(x_1)=f(x_2), что нарушает инъективность. А должны они существовать ибо \mathbb{R}^2 \setminus \{y\} меньше чем \mathbb{R}^2.
Функция f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, определённая как f(n) = 2n инъективна, но не сюръективна. R^2 \setminus {y} на самом деле равномощно с R^2
А чем можно пользоваться? Тут в две строчки вылетает доказательство непрерывности отображения. Можно через компактность образа компакта, можно в лоб, через окрестности
Непрерывность через окрестности правильная идея? (не изучал матан)
Что для любой эпсилон окрестности, существует дельта окрестность так как диаметр прообраза равен диаметру эпсилон окрестности.
Если правильно оформить, правильная. Но мне кажется самое простое это вообще от противного, просто предположить, что у точки есть два прообраза, и возникает противоречие.
Отдельно из непрерывности и из инъективности, еще не следует сюръективность. Но это позволяет нам утверждать, что существует обратное отображение, которое при этом оказывается уже биективно. И вот тут будто бы остался всего один шаг, который я нащупать почему-то не могу.
До меня только дошло, что точно такой же примерно можно придумать и для движения, которое окажется не сюръективным. Пусть задана метрика для множества целых чисел, в которой d(x, y) = 0 если х и у равны, и 1 если разные. Тогда функция f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} определённая как f(x)=2x является движением, но не является сюръективным. А значит весь этот тред люди пытались доказать ложное утверждение.