Задачка на функан/теормер

ребят, нет тут случайно любителей теории меры?)
А то тут вот:
Доказать что что множество всех сфер в R^5 не пораждает борелевскую сигма алгебру

2 лайка

Салам, блин я только в этом году собирался попробовать взяться за функан, поэтому сейчас я мало чего знаю( Тем не менее, я вроде имею решение в голове, можешь чекнуть насколько оно правильное.

Сразу оговорюсь, что я полагаю, что имеется ввиду сфера вместе с ее внутренностью (т.е. по факту шар), потому что иначе тупо объема не хватит, чтобы породить даже куб.

Хочется доказать, что сигма алгебра сфер не будет содержать прямую (изначально замкнутое множество, которое в борелевской сигма алгебре лежать будет). Другими словами, что имея операции объединения, пересечения, и дополнения и манипулируя лишь счетным числом сфер получить прямую нельзя. Попробуем это доказать.

Заметим, что для каждой точки на прямой и для всякой ее многомерной окрестности должна быть сфера, которая эту окрестность пересекает, но не содержит (дальше будем говорить полупересекает). Потому что иначе каждая сфера в нашем выражении будет либо либо полностью содержать окрестность, либо не пересекаться с нею, и тогда результат выражения тоже будет либо содержать окрестность (а вместе с тем все ненужные, не входящие в прямую точки), либо не пересекаться с нею, т.е. не содержать точку прямой.

Легко убедиться, что каждая сфера может полупересекать всякую окрестность не более двух точек на прямой, а именно точки пересечения ее поверхности с прямой. Так как сфер счетное количество, то они будут “покрывать” по такому условию только счетное количество точек, а на прямой точек континуум. Противоречие.

Наверное можно было к такому же выводу прийти, используя и более общие свойства сфер и сославшись на какую-то теорему. Но здесь вот такое частное решение. Пис✌️

12 лайков

рахмет рахмет Айбек)


я тогда немножечко тут вставлю - если шарами покрывать, то да, это уже такой классический результат(на картнике).

А вообще, как по мне там можно эти сферы до алгебры достроить, и по индукции доказать что у ее элементов либо мера будет 0, либо у их дополнения мера будет 0, а потом теоремку(на второй картинке) применить, и получить что уже у сигма алгбры порождаемой сферами будет такое же свойство :tipping_hand_man:
Capture

5 лайков

Ага, все что ты написал правильно. Я ошибся в своем ответе где написал про шары, утверждение на первой картинке мой ответ опровергает. Судя по всему, надо будет зачалить функан по скорее) но там достаточно тривиальная ошибка, любой кто захочет может сам найти наверное.

2 лайка