Протон из границы Галактики


image
В этой задаче у меня не сходится численный ответ.

Так как конечная энергия ΔE=10^{20} эВ куда больше энергии покоя E_0=10^9 эВ, приблизительно полное время пути я могу выразить как T=L/c, где L = 10^5 св. лет.

По релятивистскому замедлению времени отношение времени пролёта протона в системе отсчёта Земли ко времени по “собственным часам” составляет ровно лоренц-фактор. Напишу это в виде отношения дифференциалов:

dt = \frac{dt_0}{\sqrt{1-(v/c)^2}}

Используя выражение для полной энергии протона

E = \frac{E_0}{\sqrt{1-(v/c)^2}},

я могу избавиться от скорости:

dt = dt_0 \frac{E}{E_0}

По условию энергия протона линейно увеличивалась по времени, тогда производная энергии по времени

\frac{dE}{dt} = \frac{ΔE}{T}
\frac{dE}{dt_0} \frac{E_0}{E}= \frac{ΔE}{T}

Отсюда

\int^τ_0 dt_0 = T \frac{E_0}{ΔE} \int^{ΔE}_{E_0} \frac{dE}{E}
τ=T \frac{E_0}{ΔE} \ln\frac{ΔE}{E_0}

τ = 13.3 минуты. Почему получился несколько завышенный ответ? Даже если более точно выразить время T, то итоговый ответ станет ещё сильнее отличаться от авторского (пусть численно и будет отличаться от моего на целый порядок).

2 симпатии

всё нормально оказывается) в следующей задаче решение такое же, как и в предыдущем номере, и численно уже сходится, значит в том номере у авторов численно неверно

L = l_0 \frac{E_0}{E-E_0}\ln\frac{E}{E_0} = 42 см

image

6 симпатий

Обожаю СТО.

1 симпатия
© 2021 Общественный Фонд «Beyond Curriculum» (CC BY-NC-SA 4.0 International)