Если брать по аналогии с физикой, то как будто бы они искали сумму всех сил, которые как то зависят от расстояния, а потом взяли интеграл который по сути дает работу этой силы, а не сумму сил
Они не представляли сумму ряда через интеграл. Все что они сделали, так это то, что показали сходимость рассматриваемой суммы показав сходимость приведенного интеграла. Чисто визуальный (и очень грубый) аргумент: раз уж \displaystyle 1+ \int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx имеет какое-то конечное значение, то в принципе, интуитивно что сумма \displaystyle 1+\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{k^2} + ... тоже должна иметь конечное значение (ибо площадь под графиком в заданном интервале больше чем бесконечная сумма площадей приведенных прямоугольников).
То что в обоих случаях конечное значение равно двум просто совпадение? Это не значит что для всех такое работает, что через интеграл можно лимит ряда найти?
Я еще примерно так понял:
Сумма 1/n² это как сумма прямоугольников у которых площадь равна 1/n² × 1
Интеграл это уже площадь под кривой
И типо рассматривают интеграл, что если у него есть какой то лимит в общей площади от 0 - бесконечности
То аналогично и у суммы прямоугольников должен быть лимит
То есть с интегралом мы не можем найти лимит, но можем сказать имеет ли сходимость данный ряд
Если хочешь поподробнее узнать, то на картинке просто геометрическая интерпретация интегрального признака сходимости Коши-Маклорена для рядов с положительными членами наверн в Томасе написано тож, это очень мощный метод посути, для многих рядов подходит только соотв функцию подыскать надо
https://en.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series-new/bc-10-4/v/integral-test-intuition
Это входит в программу AP Calculus BC, можешь тут посмотреть, здесь много видео про разные тесты на convergens and divergence, в том числе и integral test.
Там же на картинке видно что они не представили сумму через интеграл, а показали то что выполняется неравенство \sum\limits_{k=1}^{n} f(k) < f(1) + \int\limits_{1}^{n}\frac{1}{x^2}dx. Ну и дальше они показывают что уже это значение меньше двух, а значит последовательность s_n ограничена, а если последовательность ограничена сверху и не убывает то это значит что она сходится.
