Что-то я не понял, а как вообще можно рассматривать случай, когда f(x) не определен при х=с? (except possibly at c) Ведь тогда нельзя сказать что данные неравенства правдивы (а значит и теорему использовать нельзя). Весь прикол теоремы ведь в том, что одна функция ограничивает сверху, другая снизу. А здесь такого нет
except possibly at x=c как раз таки позволяет применять теорему если f(c) не определено. Это значит, что неравенство верно для любых x таких, что x≠c. Неравенство g(c)≤f(c)≤h(c) как таковое не рассматривается, для этого применяется lim x→c, для которого неравенство верно. В этом суть лимитов - берём значение крайне близкое к c, но не само c, где f(c) может быть неопределено.
4 лайка
А, ну тогда ладно. Спасибо!
Теорема гласит:
Если на определенном интервале, содержащем c верно следующее неравенство g(x)\leq f(x) \leq h(x) И \lim_{x\to c} g(x) = \lim_{x\to c} h(x) = L, то мы утверждаем, что \lim_{x\to c} f(x) = L
тут есть два случая. Либо функции определены для x=c, либо нет. Если они определены, т.е. если g(c)\leq f(c) \leq h(c), то вывод тривиальный (очевидный).
Вся польза теоремы в том, что даже если функции не определены для x=c и мы только знаем, что неравенство работает на интервале вокруг x=c, но не включая его, то даже тогда мы можем сделать вывод о лимите f(x) при x\to c.
3 лайка
1 лайк
Вот теперь точно понятно! Большое спасибо
Ну такое вульгарное понимание сути лимитов очень опасно. Просто предел это некое численное свойство последовательности. Вот у множества чисел {1,2,3,4} среднее значение это 2,5 при этом само среднее значение не входит в это множество. У функции y=4 значения всюду 4, но производная всюду 0, тоже не является значением самой функции.
Причем с вещами, очень похожими на предел мы и в школе сталкивались, просто не замечали вот этого несовпадения.
Например мы часто задаем в школе неравенства вот так x<5, это множество чисел меньше пяти, при этом для записи мы используем число, которое вообще не входит в это множество, ну или можно сказать, что 5 это супремум заданного множества. И никого не смущало это никогда, люди легко работали и решали всякие уравнения с неравенствами.
Так и с пределом функции, он сам живет где-то отдельно и описывает не значения функции, а её общее свойство в окрестности точки с помощью числа.
9 лайков