Ну вообще-то нет. То, что ты показал на втором скрине – то, что для эрмитовых операторов невырожденные айгенфункции имеют \int dx \psi^*_m \psi_n =0. Чтобы сказать, что они ортогональны, надо понимать, что \int dx \psi^*_m \psi_n =0 и есть математическое определение ортогональности (о чем, собственно, и вопрос автора).
То, что \int dx \psi^*_m \psi_n =0 значит, что \psi_m и \psi_n ортогональны друг другу верно для любых функций, не обязательно айгенфункций и уж тем более не обязательно, что для айгенфункций эрмитова оператора.
Чтобы ответить на изначальный вопрос, надо понимать векторы.
Векторы \vec{v} и \vec{w} ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.
\vec{v} \perp \vec{w} \implies \vec{v} \cdot \vec{w} \implies ac+bd=0
Что такое скалярное произведение? Мы просто перемножаем координату перед каждым базисом и суммируем.
Дальше нужно просто совершить переход от векторов к функциям. Вспомним, что \mathbb{R} это вещественные числа, а \mathbb{C} комплексные. Любой двумерный вектор можно охарактеризовать двумя числами a, b (коэффициентами перед базисами). Если a, b \in \mathbb{R}, то мы имеем дело с плоскостью \mathbb{R}^2. Если a,b \in \mathbb{C}, то мы имеем дело с плоскостью \mathbb{C}^2
Любой трехмерный вектор можно охарактеризовать тремя числами a,b,c \in \mathbb{C}, значит мы имеем дело с пространством \mathbb{C}^3. Скалярный продукт трехмерных векторов – это тоже попарное перемножение трех чисел.
Можем продолжать для четырехмерных векторов, n-мерных векторов. n-мерные вектора находятся в векторном пространстве \mathbb{C}^n.
Можно смотреть на это все и немного в обратную сторону. Мы можем сказать, давайте создадим плоскость \mathbb{R}^2. Чтобы получить привычное векторное пространство, мы говорим: давайте мы создадим плоскость, в которой определена операция скалярного произведения (в общем случае его называют inner product), для которого действуют определенные свойства. Tckb Если определить скалярное произведение векторов \vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^n как:
\vec{v}\cdot \vec{w} = \sum_{i=1}^n a_i b_i
то мы получим то, что мы называем двумерным векторным пространством. Т.е. существование скалярного произведения – неотъемлемая часть пространства, в котором существуют векторы. Это как существование операции сложения для чисел. Оно просто есть.
Теперь, что если мы хотим создать пространство \mathbb{C}^\infty? Давайте создадим его. Тогда каждый вектор внутри этого пространства имеет бесконечное количество координат. И на самом деле этот вектор можно назвать привычной для нас функцией. Почему? Можно рассматривать функцию как something which maps inputs to outputs. We can consider all inputs (0, 1, 2, 2.1, 2.11) as indices of our vector and all values at those indices as outputs. Because there’s an infinite number of inputs (if our function is continous, of course), the vector will have infinite length. So, essentially, a function is a vector of infinite length.
Так вот. Если мы еще введем понятие внутреннего продукта как (мы совершаем переход от дискретного суммирования к интегрированию):
\phi \cdot \psi = \lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n a_i b_i = \int dx \phi^* \psi
То мы получим Гилбертово пространство. И на самом деле, один из под-утверждений первого постулата, что наши волновые функции как раз существуют в этом Гилбертовом пространстве. То есть для них определена операция внутреннего продукта как интегрирование комплексносопряженной на обычную функцию. А свойство внутреннего продукта – то, что если он равен нулю, значит мы называем вектора (функции) ортогональными. Т.е. когда мы говорим о волновых функциях, мы уже подразумеваем, что для них операция интегрирования \int dx \phi^* \psi является аналогом «скалярного произведения».
Я согласен, что думать о функциях как о векторах немного непривычно и осознать то, что я говорю сложно. Я думал об этом в два шага:
- Убедиться, что я соглашаюсь с терминологией для векторов в 2х и 3х мерных пространствах. Что например \vec{v} \cdot \vec{w}=0 \implies \vec{v} \perp \vec{w}
- Осознать, что мы получаем функции если увеличиваем размерность векторов до бесконечности. И тогда мы можем пользоваться тем же математическим аппаратом, что и для векторов. Именно поэтому, кстати, и было введены обозначения Дирака. Вы можете знать, что вектора можно представлять в таком виде: \vec{v} = \lang a, b \rang и тогда \vec{v} \cdot \vec{w} = \lang a,b \rang \cdot \lang c,d \rang. Можно упростить нотацию до | v \rang и | w \rang и тогда скалярное произведение \lang v | \cdot | w \rang. Можно просто опустить точку и записать \lang v | w \rang. И можно ввести такое обозначение для всех привычных векторных операций. А потом просто сказать: смотрите, это обозначение не зависит от размерности векторного пространства. Поэтому мы можем использовать его и для бесконечномерных пространств, т.е. для функций.
. Я просто понять не могу откуда взялся 
