Неопределенный интеграл

Скажите пж, используются ли на практике неопределенные интегралы?

Он понадобится к примеру тогда, когда в условии дана изначально функция, а для решения потребуется первообразная. Вообще в любом случае стоит потренироваться решать неопределённые интегралы, потому что это разовьёт навык.

6 симпатий

Полностью согласен

4 симпатии

каждый день использую

3 симпатии

Вообще, интегралы тебе точно понадобится. Неопределённый интеграл ты тоже изучай. Я просто сам встречался когда определённый интеграл лучше решить через неопределённый. Например, метод интегрирования способом Фейнмана (подробнее трюк Фейнмана посмотри на ютубе, канал: Hmath). Трюк Фейнмана, это когда у тебя есть определённый интеграл, в нём какой-то коэффициент (которым наиболее удобно решать) заменяешь на другую переменную (пусть будет t). Теперь у тебя есть функция I(t)=\int f(t, x)dx. Находишь частную производную от I по t и решаешь интеграл. Теперь у тебя есть производная I по t. Интегрируешь по t. У тебя получилась какая-то функция +C. Эту константу можно найти через самый начальный интеграл: просто t приравниваешь к какому то коэффициенту k, такому, при котором этот интеграл равен нулю или при котором подынтегральная функция равна нулю (если у тебя получилась неопределенность типа: 0/0, 0×\infty, \infty/\infty, то используй правило Лопиталя (в Демидовиче есть такая тема). Приравниваешь I(k) к тому выражению, которое у тебя получилось при интегрировании частной производной по t, подставляешь туда t=k и находишь C. Вот и всё, ты получил, что функция I(t, x)=\int f(t, x) dx=F(t)+C. И чтобы найти изначальный интеграл, просто подставляешь туда вместо t твой изначальный коэффициент. Я, возможно, ужасно объяснил, что-то не досказал, что-то неправильно, так что лучше спроси у своих учителей или поищи в интернете трюк Фейнмана (напоминаю, канал Hmath, там есть несколько примеров). А вообще, может быть и больше таких трюков с неопределённым интегралом, просто мой уровень знаний пока мал, чтобы их рассказать.

5 симпатий

А и, таким образом ты решил определенный интеграл через общий случай. А и, почитай книжки по вышмату, такие как Thomas calculus или Демидовича(у него есть свой сборник задач), ещё прочитай планы подготовки по своему предмету, их составляли дельные люди

2 симпатии

А ещё, обычно учат неопределённый интеграл, после определенный. В темах об неопределенных интегралах обычно рассказываются методы интегрирования

2 симпатии

…применяя формулу Лейбница.

Могу показать на частном примере: легко вычислить следующий интеграл

I=\int_0^\infty e^{\displaystyle-\alpha x}dx=1/\alpha.

Его результат можно применить для вычисления, к примеру, такого интеграла:

J = \int_0^\infty x^{\displaystyle n}e^{\displaystyle-\alpha x}dx.

Обычно на практике интегрирование ведётся по частным случаям (к примеру, n=2), и самый базовый способ проинтегрировать – использовать интегрирование по частям \int vdu = vu - \int udv.

J = \int_0^\infty x^{\displaystyle n}e^{\displaystyle-\alpha x}dx = \int_0^\infty -\frac{1}{\alpha}x^{\displaystyle n}d(e^{\displaystyle-\alpha x}) = -\frac{1}{\alpha}(x^ne^{-\alpha x} - \int_0^\infty e^{-\alpha x}\cdot nx^{n-1}dx).

И так нужно интегрировать по частям n раз. Если говорить о практической пользе такого интегрирования чисто для олимпиад, то для них такого способа достаточно. Можно же использовать формулу Лейбница, т.е. сначала взять производную по альфа:

\frac{dI}{d\alpha} = \frac{d}{d\alpha} \int_0^\infty e^{\displaystyle-\alpha x}dx = \int_0^\infty \frac{\partial}{\partial \alpha}e^{\displaystyle-\alpha x}dx = \int_0^\infty -xe^{\displaystyle-\alpha x}dx.

Здесь я внёс производную под знак интеграла (и она ещё стала частной производной по \alpha), так как пределы интегрирования не являются функцией от \alpha. Как видим, мы можем сколько угодно раз брать эту же производную снова и снова, и мы будем фактически умножать подынтегральное выражение на -x. В общем случае:

\frac{d^n I}{d\alpha^n} = \int_0^\infty (-1)^n x^{n}e^{-\alpha x}dx = (-1)^n J.

С другой стороны, мы уже знаем, что I = 1/\alpha, а значит \displaystyle\frac{dI}{d\alpha} = -\frac{1}{\alpha^2} и соответственно \displaystyle \frac{d^n I}{d\alpha^n} =(-1)(-2)(-3)...(-n)\frac{1}{\alpha^{n+1}}=(-1)^n\frac{n!}{\alpha^{n+1}}. Приравниваем обе стороны и получаем ответ

J =\int_0^\infty x^{\displaystyle n}e^{\displaystyle-\alpha x}dx= \frac{n!}{\alpha^{\displaystyle n+1}}.
8 симпатий