Распределение Больцмана

Идеальный газ с молярной массой M находится в очень высоком вертикальном цилиндрическом сосуде в однородном поле тяжести , для которого ускорение свободного падение равно g. Считая температуру газа всюду одинаковой и равной T , найти высоту , на которой находится центр тяжести газа.

1 симпатия

Используем в этой задаче распределение концентрации газа

n=n_0\exp (\frac{-Mgz}{RT})

и вычислим общее количество молекул газа в сосуде:

N_0 = \int^{\infin}_0 nSdz = n_0S\int^{\infin}_0 \exp(\frac{-Mgz}{RT}) dz \newline = \frac{-n_0SRT}{Mg} \int^{\infin}_0 \exp(\frac{-Mgz}{RT}) d(\frac{-Mgz}{RT})= \newline = \left. \frac{-n_0SRT}{Mg} \exp(\frac{-Mgz}{RT}) \right\rvert^{\infin}_{0} = \newline = \frac{n_0SRT}{Mg}

Тогда общая масса газа равна m_0=N_0m
Эту массу можно было так же вычислить, записывая уравнение равенства нулю векторной суммы сил, действующих на дно:

P_0=n_0kT \newline P_0S = N_0mg \newline N_0 = \frac{n_0SkT}{mg} = \frac{n_0S\cdot kN_A \cdot T}{mN_a \cdot g} = \frac{n_0SRT}{Mg}

Теперь воспользуемся формулой координаты центра масс z_c = \frac{\sum mz}{\sum m} в интегральном виде:

z_c=\frac{\int^{\infin}_0 mnSdz \cdot z}{m_0} = \frac{\int^{\infin}_0 nSdz \cdot z}{N_0} = \frac{n_0S}{N_0} \int^{\infin}_0 z\cdot \exp (\frac{-Mgz}{RT}) dz

Для вычисления такого интеграла нужно воспользоваться правилом интегрирования по частям \int udv = uv - \int vdu. В качестве переменной u используем z, а дифференциал dv=\exp (\frac{-Mgz}{RT}) dz.

z_c=\frac{-n_0SRT}{N_0Mg} \int^{\infin}_0 z\cdot \exp (\frac{-Mgz}{RT}) d(\frac{-Mgz}{RT}) = \newline \frac{-n_0SRT}{N_0Mg}(\left. z\cdot \exp (\frac{-Mgz}{RT}) \right\rvert^{\infin}_{0} - \int^{\infin}_0 \exp (\frac{-Mgz}{RT}) dz )

При подстановке верхнего предела \infin первое слагаемое будет равным нулю, так как значение стремящейся к минус бесконечности экспонента стремится к нулю быстрее, чем стремящаяся к плюс бесконечности величина в любой степени.
Как мы вычислили в выражении для N_0,

\int^{\infin}_0 \exp(\frac{-Mgz}{RT}) dz = \frac{RT}{Mg}

Следовательно:

z_c = \frac{n_0SRT}{N_0Mg} \cdot \frac{RT}{Mg} = \frac{RT}{Mg}

P.S. на этом форуме попытки решения так же приветствуются, так автор сможет лучше разобраться в своём вопросе.

7 симпатий
© 2021 Общественный Фонд «Beyond Curriculum» (CC BY-NC-SA 4.0 International)