Распределение Больцмана

В системе имеются 2 уровня энергии . При температуре 298К нижний уровень заселен на 90%. При какой температуре он будет заселен на 70%?.
У меня выходит 560 и 796 К , а ответ 596К

1 симпатия

По распределению Больцмана

p_i = \frac{N_i}{N} \propto exp\left(-\frac{E_i}{kT}\right)

где:

p_i - вероятность нахождения частицы системы на энергетическом уровне i;

N_i - число частиц на уровне i;

N - число частиц в системе;

E_i - энергия уровня i;

k - константа Больцмана;

T - температура.

Рассмотрим систему с двумя уровнями, нижним уровнем i и верхним уровнем j. В такой системе:

p_i = \frac{N_i}{N} \propto exp\left(-\frac{E_i}{kT}\right)
p_j = \frac{N_j}{N} \propto exp\left(-\frac{E_j}{kT}\right)
N = N_i + N_j

Поделив первое выражение на второе, получим:

\frac{p_i}{p_j} = \frac{N_i}{N_j} = \frac{exp(-\frac{E_i}{kT})}{exp(-\frac{E_j}{kT})}=exp\left(\frac{E_j-E_i}{kT}\right)

где:

E_j-E_i - разница энергий двух уровней, являющаяся константой.

Из условия нам дано, что при 298K нижний уровень заполнен на 90%. Обозначим 298K как T_1, а неизвестную нам температуру, при которой N_i=0.75N, как T_2. Подставим N_i для первого случая.

N_i = 0.9N \Rightarrow N_j = 0.1N
\therefore \frac{0.9N}{0.1N} = 9 = exp\left(\frac{E_j-E_i}{k\cdot T_1}\right)

На этом этапе можно подставить температуру и вычислить разницу энергий, а после подставить в это же уравнение, но уже с 75% на первом уровне, чтобы найти неизвестную температуру T_2. Однако, если подумать, можно найти более быстрый способ решения.

Подставим N_i для второго случая:

N_i = 0.75N \Rightarrow N_j = 0.25N
\therefore \frac{0.75N}{0.25N} = 3 = exp\left(\frac{E_j-E_i}{k\cdot T_2}\right)

Мы видим, что отношение \frac{N_i}{N_j} при T_1 является квадратом этого же при T_2. Отсюда:

3^2 = 9
\therefore exp\left(\frac{2(E_j-E_i)}{k\cdot T_2}\right) = exp\left(\frac{E_j-E_i}{k\cdot T_1}\right)
\therefore \frac{2}{T_2} = \frac{1}{T_1}
\therefore T_2 = 2T_1 = 2 \cdot 298\pu{K} = 596\pu{K}

Получаем правильный ответ T_2 = 596\pu{K}.

2 симпатии

О наконец-то, спасибо

1 симпатия

Рад помочь )

В задаче сказано 70%

Ну или просто взять логарифм в обоих уравнениях и одно поделить на другое. Получится, что \displaystyle \frac{\ln(p_i/p_j)}{\ln(p_i^\prime / p_j^\prime)} = \frac{T^\prime}{T}.

Судя по тому, что я решал так же, но ответ вышел \pu{773 K} (а при 75% такой же), ответ задачи неверный и должен быть \pu{773 K}.

3 симпатии

Спасибо! Внимательность моя сильная сторона. :joy:

++++😂

© 2021 Общественный Фонд «Beyond Curriculum» (CC BY-NC-SA 4.0 International)