Средняя скорость молекул газа в МКТ

Химия Физическая химия
1

Есть у нас функция вероятности распределения скорости

f(v)=\bigg[\frac{m}{2\pi kT}\bigg]^{\frac{3}{2}}4\pi v^2\exp\left(-\frac{mv^2}{2kT}\right)

Если у нас N молекул, то средняя скорость всех молекул будет

v_{mean}=\frac{v_1+v_2+v_3+v_4….+v_N}{N}

И эта скорость равна

v_{mean}=\int\limits_0^\infty vf(v)dv

Почему?

2

Ну если быть строгим, то они не равны

1 лайк
3

А если не быть строгим?

4

Вы теорию вероятности изучали уже? Что-нибудь про математическое ожидание читали?

1 лайк
5

потому что вашу дискретную запись можно переписать как:

v_{mean} = \frac{1}{N} \sum_i v_i = \frac{1}{N} \sum_{unique\ v} g(v) v = \sum_{unique\ v} \frac{g(v)}{N} v

в первой сумме мы просто суммируем по всем молекулам i. Во второй сумме мы суммируем по уникальным значениям v, а g(v) количество молекул у которых скорость равна v, т.е. v_i=v.

Дальше в лимите N\to \infty дискретная запись становится идентичной интегралу, а ваш g(v)/N это и есть вероятность.

2 лайка
6

Не очень понятен этот переход. Понимаю как работает для суммы Римана лимит, но каким образом тут появляется интеграл, и откуда возьмем dv?

7

ваш вопрос противоречит утверждению “понимаю как работает для суммы Римана”

Возьмем систему из N молекул, каждой соответствует скорость v_i. Теоретически, распределение этих скоростей внутри множества может быть каким-угодно. Но в изолированной системе при термальном равновесии это распределение будет очень близко к распределению Максвелла-Больцмана. Мы можем просто сложить все N скоростей и поделить на N

\bar{v} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N v_i

А можем посчитать по сумме уникальных значений v_i помноженных на их частоту. Проблема в том, что если v\in\mathbb{R} (а не скажем \in \mathbb{Z}), уникальных значений будет очень мало ибо 3.01000001 и 3.01000002 это разные значения. Поэтому мы можем сделать приближение через аппроксимацию распределения с помощью гистограммы: возьмем корзину из скоростей от v до v+\Delta v. Посчитаем сколько молекул попадает в эту корзину, пусть это будет N_i.

По определению вероятности, N_i = f(v) \Delta v (допуская, что f(v) постоянна на интервале [v; v+ \Delta v], что оправдано если \Delta v маленькая.

Таким образом, у нас есть f(v)\Delta v значений v. Тогда:

\bar{v} = \sum_{корзины} v\times f(v) \Delta v

Ну и интеграл это просто \lim_{\Delta v \to 0}

7 лайков