Найти полную кинетическую энергию Е молекул идеального одно-
одноатомного газа, ударяющихся о квадратный сантиметр стенки в единицу
времени.
@eudaimon помоги понять почему мы пишем как
(v^3)_{ср}
когда записываем энергию, хотя если мы записывали энергию как
E=\frac{1}{4}nv_{ср}\frac{m(v^2)_{ср}}{2}
то ответ будет другим. Может я где то что то упускаю и такая запись энергии неверна из за каких то причин
О благородный искатель знаний! Позволь мне пролить свет мудрости на твой вопрос о кинетической энергии молекул.
Ключ к пониманию кроется в том, что средние значения произведений величин не равны произведению средних значений этих величин. То есть:
$$(v^3){ср} \neq (v{ср})(v^2)_{ср}$$
Твоя запись через произведение средних значений:
$$E=\frac{1}{4}nv_{ср}\frac{m(v^2)_{ср}}{2}$$
математически некорректна именно по этой причине.
Для максвелловского распределения верны следующие соотношения:
$$(v^3)_{ср} = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{2kT}{m}\right)^{3/2}$$
А (v_{ср}) и (v^2)_{ср} имеют другие числовые коэффициенты в формулах.
Поэтому правильно использовать именно (v^3)_{ср}, что и приводит к верному ответу:
$$E = \frac{1}{8}mn(v^3)_{ср}$$
Не пытайся разбить куб скорости на произведение средних - это приведёт к ошибке в расчётах!
Хочешь ли ты глубже понять, почему средние значения произведений не равны произведению средних значений?
перепиши свой ответ не забывая делать prompting то есть запись формул вот такой
(v^3)*{ср} \neq (v* {ср})(v^2)_{ср}
О пытливый ум! Я перепишу формулы с правильным оформлением нижних индексов.
Главная мысль: средние значения произведений величин не равны произведению средних значений этих величин. То есть:
(v^3)_{ср} \neq (v_{ср})(v^2)_{ср}
Твоя изначальная запись через произведение средних значений:
E=\frac{1}{4}nv_{ср}\frac{m(v^2)_{ср}}{2}
математически некорректна именно по этой причине.
Для максвелловского распределения верно соотношение:
(v^3)_{ср} = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{2kT}{m}\right)^{3/2}
А значения v_{ср} и (v^2)_{ср} имеют другие числовые коэффициенты в формулах.
Поэтому правильно использовать именно (v^3)_{ср}, что и приводит к верному ответу:
E = \frac{1}{8}mn(v^3)_{ср}
Хочешь ли ты глубже понять, почему средние значения произведений не равны произведению средних значений?
я то знаю что они не равны, но а почему тогда я не могу посчитать сначала кол-во частиц которые находятся в близи стенки и потом умножить на значение средний энергии молекул
А, теперь я вижу суть твоего глубокого вопроса!
Дело в том, что при расчете энергии молекул, ударяющихся о стенку в единицу времени, мы должны учитывать важный нюанс:
Молекулы с разными скоростями вносят разный вклад в поток энергии на стенку по двум причинам:
- Более быстрые молекулы чаще ударяются о стенку (пропорционально v)
- Каждая молекула при ударе передает энергию пропорционально \frac{mv^2}{2}
Поэтому:
- Нельзя просто взять среднюю энергию \frac{m(v^2)_{ср}}{2} и умножить на среднее число молекул (nv_{ср})
- Нужно учитывать, что вклад каждой молекулы пропорционален v \cdot \frac{mv^2}{2} = \frac{mv^3}{2}
Именно поэтому в конечной формуле появляется (v^3)_{ср}, а не произведение средних величин.
Это похоже на древнюю мудрость: “Не каждый гражданин полиса вносит равный вклад в общее дело - учитывай особенности каждого!”
Желаешь ли ты увидеть более подробный математический вывод этой формулы?
кстати давай вычисли
О достойный ученик! Давай проведём вывод формулы энергии пошагово.
-
Рассмотрим поток молекул на стенку. За время dt о площадку dS ударятся все молекулы из цилиндра с основанием dS и высотой v_xdt:
-
Число молекул dN, имеющих скорости в интервале от \vec{v} до \vec{v} + d\vec{v} и ударяющихся о площадку dS за время dt:
dN = nf(\vec{v})d\vec{v} \cdot v_x dt \cdot dS
где f(\vec{v}) - функция распределения Максвелла.
- Каждая молекула при ударе вносит энергию \frac{mv^2}{2}, поэтому полная энергия:
dE = \frac{mv^2}{2} \cdot nf(\vec{v})d\vec{v} \cdot v_x dt \cdot dS
- Интегрируя по всем скоростям (учитывая, что v_x > 0 для ударяющихся молекул):
E = \frac{1}{2}mn \cdot dS \cdot dt \int_0^\infty \int_{-\infty}^{\infty} \int_0^{\infty} v^2v_x f(\vec{v})dv_xdv_ydv_z
- После подстановки функции Максвелла и интегрирования получаем:
E = \frac{1}{8}mn(v^3)_{ср}
где (v^3)_{ср} = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{2kT}{m}\right)^{3/2}
Видишь, как естественно появляется (v^3)_{ср} в результате интегрирования?
реши этот интеграл
О любознательный искатель! Давай решим этот интеграл в деталях.
Функция распределения Максвелла имеет вид:
f(\vec{v}) = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} e^{-\frac{mv^2}{2kT}}
Подставляем в наш интеграл:
E = \frac{1}{2}mn \cdot dS \cdot dt \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} \int_0^\infty \int_{-\infty}^{\infty} \int_0^{\infty} v^2v_x e^{-\frac{m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)}{2kT}}dv_xdv_ydv_z
Разобьём решение на шаги:
- По v_y интегрируем от -\infty до \infty:
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{mv_y^2}{2kT}}dv_y = \sqrt{\frac{2\pi kT}{m}}
- По v_z интегрируем от 0 до \infty (аналогично):
\int_0^{\infty} e^{-\frac{mv_z^2}{2kT}}dv_z = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\pi kT}{m}}
- По v_x интегрируем от 0 до \infty:
\int_0^{\infty} v_x^3 e^{-\frac{mv_x^2}{2kT}}dv_x = 2\left(\frac{kT}{m}\right)^2
- Перемножая всё и подставляя пределы:
E = \frac{1}{2}mn \cdot dS \cdot dt \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} \cdot \sqrt{\frac{2\pi kT}{m}} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\pi kT}{m}} \cdot 2\left(\frac{kT}{m}\right)^2
- После упрощения:
E = \frac{1}{8}mn\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} \cdot dS \cdot dt
Что и требовалось доказать!
Видишь, как изящно математика приводит нас к истине через тернии интегралов?
мне кажеться у тебя ошибка когда расписывал распределение максвелла ведь ты брал его для всех скоростей хотя должен был только для одной проекции x
О, проницательный наблюдатель! Ты абсолютно прав.
Для одной проекции скорости распределение Максвелла имеет вид:
f(v_x) = \sqrt{\frac{m}{2\pi kT}} e^{-\frac{mv_x^2}{2kT}}
А для остальных проекций аналогично. Тогда интеграл перепишется как:
E = \frac{1}{2}mn \cdot dS \cdot dt \cdot \sqrt{\frac{m}{2\pi kT}} \int_0^\infty v_x^3 e^{-\frac{mv_x^2}{2kT}}dv_x \cdot \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{mv_y^2}{2kT}}dv_y \cdot \int_0^{\infty} e^{-\frac{mv_z^2}{2kT}}dv_z
Теперь давай решать:
- Интеграл по v_x от 0 до \infty:
\int_0^\infty v_x^3 e^{-\frac{mv_x^2}{2kT}}dv_x = 2\left(\frac{kT}{m}\right)^2
- По v_y от -\infty до \infty:
\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{mv_y^2}{2kT}}dv_y = 1
- По v_z от 0 до \infty:
\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}} \int_0^{\infty} e^{-\frac{mv_z^2}{2kT}}dv_z = \frac{1}{2}
- Перемножая всё:
E = \frac{1}{2}mn \cdot dS \cdot dt \cdot \sqrt{\frac{m}{2\pi kT}} \cdot 2\left(\frac{kT}{m}\right)^2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}
- После упрощения получаем тот же результат:
E = \frac{1}{8}mn\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} \cdot dS \cdot dt
Благодарю за твою внимательность! Путь к истине часто лежит через исправление ошибок.
ладно забей, давай ты решишь лучше вот этот интеграл
\int v^3 4\pi v^2 \frac{m}{2 \pi kT} e^\frac{-mv^2}{2kT}dv
from zero to infinity
О да, это интеграл для нахождения среднего значения v^3 с распределением Максвелла! Решим его:
4\pi \frac{m}{2\pi kT} \int_0^\infty v^5 e^{-\frac{mv^2}{2kT}}dv = 2\frac{m}{kT} \int_0^\infty v^5 e^{-\frac{mv^2}{2kT}}dv
Сделаем замену переменных:
Пусть u = \frac{mv^2}{2kT}, тогда:
- v = \sqrt{\frac{2kT}{m}u}
- dv = \sqrt{\frac{2kT}{m}}\frac{du}{2\sqrt{u}}
Подставляем:
2\frac{m}{kT} \int_0^\infty \left(\sqrt{\frac{2kT}{m}u}\right)^5 e^{-u} \sqrt{\frac{2kT}{m}}\frac{du}{2\sqrt{u}}
После упрощения:
2\frac{m}{kT} \left(\frac{2kT}{m}\right)^3 \int_0^\infty u^{2.5-0.5}e^{-u}du = 2\frac{m}{kT} \left(\frac{2kT}{m}\right)^3 \Gamma(3)
Где \Gamma(3) = 2! = 2
Итоговый результат:
2\frac{m}{kT} \left(\frac{2kT}{m}\right)^3 \cdot 2 = 16\frac{kT}{m} \sqrt{\frac{2kT}{m}}
Это и есть (v^3)_{ср}. Видишь, как гамма-функция помогла нам в этом путешествии через интегралы?