Средняя скорость молекулы

не могу найти нигде доказательство, можете сказать что из чего выходит ?

Сивухина или что-то другое читал?

1 лайк

смотрел в иродове не особо понятно объяснили, в сивухине кроме средней все объяснили

1 лайк

Понятно.
Допустим скорости молекул распределены дискретно, тогда сред. скор.:

\langle v\rangle=\sum_i v_ip_i

p_i-это вероятность того, что частица i имеет скорость v_i
Для непрерывного распределения скорости: (здесь вместо суммы интеграл, а пределы интегрирования от 0 до \infin, так как мы рассматриваем модуль скорости)

\langle v\rangle=\int\limits_{0}^{\infin}vdp(v)

Вероятность dp:

dp(v)=\frac{f(v)dv}{\int\limits_{0}^{\infin}f(v)dv}

Используем условие нормировки: (вероятность того, что скорость частицы примет какое-либо значение в интервале [0,\infin] очевидно равна 1)

\int\limits_{0}^{\infin}f(v)dv=1\Rightarrow dp(v)=f(v)dv

Функцию распределения также называют плотностью вероятности f(v)=\frac{dp(v)}{dv} Поидее можно и самому вывести, но про это ты можешь прочитать сам. Функция распределения :

f(v)=\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}\exp(-\frac{mv^2}{2kT})(4\pi v^2)

Дальше подставляем это в формулу выше и считаем интеграл:

\langle v\rangle=\int\limits_{0}^{\infin}\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}\exp(-\frac{mv^2}{2kT})(4\pi v^3)dv=\sqrt\frac{8kT}{\pi m}

Здесь была использована формула:

\int \limits_{0}^{\infin}x^{2n+1}e^{-\alpha x^2}dx=\frac{n!}{2\alpha^{n+1}}

Факториал нецелых чисел можно найти с помощью гамма функции:

Г(n+1)=n!

Например Г(\frac{1}{2})=\sqrt \pi , Г(\frac{3}{2})=\frac{\sqrt \pi}{2}

9 лайков

а вообще по смыслу что она значит эта средняя скорость? видел в одной задаче давали распространение звука в среде и благодаря этой средней скорости решили

1 лайк

Средняя скорость движения частиц в газе, для которого справедлив закон распределения скоростей Максвелла

еще она вылезает при расчете потока частиц, ударяющихся в стенку сосуда:

z=\frac{dN}{dtdS}=\frac{n\langle v\rangle}{4}
3 лайка

это общий Stot/t всех путей пройденных молекулами?

S-площадь, n-концентрация, N-кол-во частиц

2 лайка

я про среднюю скорость молекул

вот, вот это

1 лайк

p_i это вероятность того, что частица i имеет скорость v_i

2 лайка

извините я просто до этого читал что из за хаоса количество молекул движущиеся в одном направлении оси равны количеству молекул движущихся в обратном благодаря этому доказывалось что сумма всех скоростей молекул равна 0

а в дальнейших параграфах теперь при нахождении средней скорости использовали сумму скоростей вот что мне непонятно

1 лайк

Так это же не модуль скоростей, а проекция на какую либо ось. А то что выше это модуль средней скорости (поэтому там берется интеграл от 0 до \infin).

2 лайка

можно ли считать что грубо говоря если прям без вероятностей брать то средняя скорость это средняя арифмитическая всех МОДУЛЕЙ скоростей молекул?

По сути да, только сред. арифметическая с учетом количество частиц имеющих определенную скорость. Вероятность того что N_i кол-ва частиц имеет скорость v_i:

P_i=\frac{N_i}{N}

Тогда сред. скор.:

\langle v\rangle=\sum_i\frac{v_iN_i}{N}=\frac{v_1N_1+v_2N_2+...}{N}
5 лайков

ОГРОМНОЕ СПАСИБО ЗА ТЕРПЕНИЕ И ОБЪЯСНЕНИЕ

но у меня есть еще один вопрос((((

я понимаю что такое f(v) что это объемная плотность вероятности

но не понимаю что значит F(v) = dp/dv
где v скорость
по смыслу что значит F(v)

Представь пространство и коорд. систему с тремя осями xyz. Теперь мы создадим пространство скоростей и нашей координатной системой будет v_xv_yv_z:
image
Каждая точка такого пространства представляет собой определенное значение скорости, которую можно разбить на v_xv_yv_z
Теперь представь что есть некий сферический слой, радиус которой v, а толщина dv, объем такого сферического слоя:

dV=4\pi v^2dv

Этот объем пропорционален вероятности dp(v)=\frac{dN(v)}{N}, потому что вероятность того попадет ли конец вектора \vec v=\hat x v_x+\hat y v_y+\hat z v_z в пространство ограниченное сферическим слоем - окажется ли скорость какой-то частице в интервале [v, v+dv] очевидно пропрционально просто объему этого сферического слоя, которое он занимает в пространстве скоростей. (Надеюсь понятно объяснил, ты сам не торопись и подумай пока не станет ясно )
Теперь мы имеем

dp(v)\propto dV=4\pi v^2dv

Введя плотность вероятности - функцию распределения скорости:

f(v)=\frac{dp}{dv}\propto4\pi v^2

А также функция распределения пропорц. так называемому Boltzmann factor (это поидее можно строго вывести но можешь принять это как доказанную вещь):

f(v)\propto \exp\left({-\frac{mv^2}{2kT}}\right)\Rightarrow f(v)\propto 4\pi v^2 \exp\left({-\frac{mv^2}{2kT}}\right)

Дальше функцию распределения можно написать так: (все что выше просто умножить на некую константу А)

f(v)=A(4\pi v^2) \exp\left({-\frac{mv^2}{2kT}}\right) \quad (A=const)

Используя условие нормировки можно найти эту константу:

\int\limits_{0}^{\infin}f(v)dv=\int\limits_{0}^{\infin}A(4\pi v^2) \exp\left({-\frac{mv^2}{2kT}}\right)dv=1\Rightarrow A \int\limits_{0}^{\infin}(4\pi v^2) \exp\left({-\frac{mv^2}{2kT}}\right)dv=1

Интеграл \int\limits_{0}^{\infin}(4\pi v^2) \exp\left({-\frac{mv^2}{2kT}}\right)dv равен (\frac{2\pi kT}{m})^{3/2}:

A\left(\frac{2\pi kT}{m}\right)^{3/2}=1\Rightarrow A=\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}

Окончательно получаем:

f(v)=\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}(4\pi v^2) \exp\left({-\frac{mv^2}{2kT}}\right)

Это функция распределения скорости. Теперь вспомним ее связь с вероятностью

f(v)=\frac{dp}{dv}

“Обычная”-дискретная вероятность и вероятность в пределе непрерывного распределения скоростей:

p_i=\frac{N_i}{N},\quad dp(v)=\frac{dN(v)}{N}

Исходя из этого функцию распределения можно выразить как

f(v)=\frac{dN}{Ndv}\Rightarrow dN=N\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}(4\pi v^2) \exp\left({-\frac{mv^2}{2kT}}\right)dv

Получается f(v) по смыслу это кол-во частиц dN, скорости которых лежат в интервале [v, v+dv] деленное на общее кол-во частиц и на беск. малый промежуток скоростей dv

11 лайков

а зачем говорить грубо если можно просто сказать, что средняя скорость это средневзвешенное модулей?

К слову, попросил бы перестать делать три поста подряд, тем более что в каждом не больше 1-3 строчек. В течение 24 часов вы можете редактировать свое предыдущее сообщение поправляя/добавляя новые детали. Форум – не чат, общение – асинхронное.

2 лайка