У меня получилось около 578 тыс. активных центров.
Плотность платины составляет
\rho (\ce{Pt}) = \frac{4M(\ce{Pt})}{N_A a^3}
Объем поверхностного слоя сферической частицы составляет
V_{\text{пов.слой}} = \frac{4\pi}{3} \left( R^3 - (R-2r)^3\right)
где R – радиус сферической частицы, r – радиус атома.
Кол-во атомов платины на поверхностном слое составляет
N_{\text{пов.слой}} = V_{\text{пов.слой}} \cdot \rho (\ce{Pt}) \cdot \frac{N_A}{M(\ce{Pt})} = \frac{16\pi}{3a^3}\left( R^3 - (R-2r)^3\right)
Раз уж один активный центр состоит из четырех атомов платины,
N_{\text{акт.центр}} = \frac{N_{\text{пов.слой}}}{4} = \frac{4\pi}{3a^3}\left( R^3 - (R-2r)^3\right) \approx 578 000