Теормат | 4 глава, Химическая кинетика | 542 стр | 8 задача

Химия Физическая химия
1

Кто-нибудь вообще смог эту задачу решить?

  1. Уран-239 распадается по схеме
\ce{^{239}U \xrightarrow{\text{23,5 мин}} ^{239}Np \xrightarrow{\text{2,35 сут}} ^{239}Pu}.

Определите индукционный период для образования плутония (т.е. время, через которое будет достигнут предел обнаружения), если начальная масса урана 10 г, а предел обнаружения плутония 10^{-7} г.
Ответ. t=0.058 мин

Теормат 4 глава 3 Параграф 8 задача
2

На первый взгляд это просто применение формулы для последовательного распада.

1 лайк
3

Там странность в том, что выходит уравнение, которое у меня получалось решить только с помощью около 3500 итераций… Пробовал найти, в каких местах можно пренебречь чем-нибудь используя k_1 \gg k_2, но тогда вовсе корни не выходят. Возможно, я где-то что-то упускаю.

2 лайка
4

Я не думаю, что здесь нужно искать точное решение, ибо способа выразить t=f(m_f, m_0) аналитически вроде бы нет, да и нам говорят только о порядке предела обнаружения плутония. Нам дана 1 значащая цифра порядка, значит мы не можем найти время точнее, чем с 1 значащей цифрой. Поэтому достаточно подставить несколько значений для t и найти то, которое перепрыгнет за предел обнаружения.

3 лайка
5

Нам в итоге надо решить уравнение вида

C=a e^{-bt}-be^{-at}

У экспонент обычно красивая асимтотика, даже если не очень хорошо её чувствуешь, можно экспоненты в виде ряда представить и самому увидеть как можно приблизительно решить

C=a(1-bt+\frac{b^2}{2}t^2-\frac{b^3}{3!}t^3+\cdots)-b(1-at+\frac{a^2}{2}t^2-\frac{a^3}{3!}t^3+\cdots)

Учитывая условие задачи, понятно, что в ответе будет маленькое t, поэтому можно ограничиться вторым порядком

\begin{gathered} (ab^2-ba^2)t^2 \approx 2(C+b-a)\\ t\approx \sqrt {\frac{2(C+b-a)}{ab^2-ba^2}} \end{gathered}

У нас в задаче получается красота, посмотрите на последнее выражение :star_struck:

a=0.0295\\ b=2.048\times10^{-4}\\ C=(1-10^{-8})(a-b)\\ t\approx \sqrt {\frac{2((1-10^{-8})(a-b)+b-a)}{ab^2-ba^2}}= \sqrt {\frac{2\cdot10^{-8}}{ab}}=0.058 \ мин

Физики, простите что пользуюсь вашими штучками

37 лайков
6

красиво :call_me_hand:

4 лайка
7

Балин, про ряд Тейлора что-то не пришло в голову.

6 лайков
8

присоединяйся, в углу позора рядом со мной есть место

10 лайков
9

Можете обьяснить откуда вышло это

1000077516
1000077516916×199 10.1 KB

и С=(1-10^-8)(а-b)

10

Вы можете не идти через ряды Тейлора, а просто понять, что у нас выражение для количества плутония это функция, у которой в t=0 значение 0, первая производная ноль, а вторая ненулевая, а значит можно в небольшой окрестности нуля представить как \displaystyle f(x) \cong \frac{f''(0)}{2}x^2

Получится очень лаконично и намного быстрее (и даже формулы знать для последовательного распада не надо, я не шучу).

Вот есть у нас

A \xrightarrow{k_1} B \xrightarrow{k_2} C.

Посчитаем производные для концентрации/количества C

\begin{gathered} [C]'=r_2=k_2[B] \\ [C]''=r_2'=(k_2[B])'=k_2[B]'=k_2r_1=k_1k_2[A] \end{gathered}

В момент времени t=0 получается, что количество последнего 0, первая производная тоже 0, а вторая производная k_1k_2[A]. Значит, оно ведет себя около нуля как квадратичная функция

[C](t)\approx 1/2 k_1k_2[A]_0t^2

Если это применить к нашей задаче, где не концентрации, а количества/массы, то надо просто решить уравнение

m_{Pu}= 1/2 k_1k_2m^0_Ut^2

А в моем способе в этой теме, я шел к последнему уравнению через ряды, но это избыточно.

1 лайк