Теормат | 4 глава, Химическая кинетика | 542 стр | 8 задача

Химия Физическая химия
1

Кто-нибудь вообще смог эту задачу решить?

  1. Уран-239 распадается по схеме
\ce{^{239}U \xrightarrow{\text{23,5 мин}} ^{239}Np \xrightarrow{\text{2,35 сут}} ^{239}Pu}.

Определите индукционный период для образования плутония (т.е. время, через которое будет достигнут предел обнаружения), если начальная масса урана 10 г, а предел обнаружения плутония 10^{-7} г.
Ответ. t=0.058 мин

2

На первый взгляд это просто применение формулы для последовательного распада.

3

Там странность в том, что выходит уравнение, которое у меня получалось решить только с помощью около 3500 итераций… Пробовал найти, в каких местах можно пренебречь чем-нибудь используя k_1 \gg k_2, но тогда вовсе корни не выходят. Возможно, я где-то что-то упускаю.

4

Я не думаю, что здесь нужно искать точное решение, ибо способа выразить t=f(m_f, m_0) аналитически вроде бы нет, да и нам говорят только о порядке предела обнаружения плутония. Нам дана 1 значащая цифра порядка, значит мы не можем найти время точнее, чем с 1 значащей цифрой. Поэтому достаточно подставить несколько значений для t и найти то, которое перепрыгнет за предел обнаружения.

1 лайк
5

Нам в итоге надо решить уравнение вида

C=a e^{-bt}-be^{-at}

У экспонент обычно красивая асимтотика, даже если не очень хорошо её чувствуешь, можно экспоненты в виде ряда представить и самому увидеть как можно приблизительно решить

C=a(1-bt+\frac{b^2}{2}t^2-\frac{b^3}{3!}t^3+\cdots)-b(1-at+\frac{a^2}{2}t^2-\frac{a^3}{3!}t^3+\cdots)

Учитывая условие задачи, понятно, что в ответе будет маленькое t, поэтому можно ограничиться вторым порядком

\begin{gathered} (ab^2-ba^2)t^2 \approx 2(C+b-a)\\ t\approx \sqrt {\frac{2(C+b-a)}{ab^2-ba^2}} \end{gathered}

У нас в задаче получается красота, посмотрите на последнее выражение :star_struck:

a=0.0295\\ b=2.048\times10^{-4}\\ C=(1-10^{-8})(a-b)\\ t\approx \sqrt {\frac{2((1-10^{-8})(a-b)+b-a)}{ab^2-ba^2}}= \sqrt {\frac{2\cdot10^{-8}}{ab}}=0.058 \ мин

Физики, простите что пользуюсь вашими штучками

25 лайков
6

красиво :call_me_hand:

3 лайка
7

Балин, про ряд Тейлора что-то не пришло в голову.

2 лайка
8

присоединяйся, в углу позора рядом со мной есть место

3 лайка