Как из этого получить
Это уравнение?
2 лайка
Довольно стандартное, но все таки красивое интегрирование.
Для начала предположим, что в системе изначально имеется только в-во \ce{A} с концентрацией \ce{[A]_{0}}. Тогда спустя какое-то кол-во времени, в системе будут присутствовать в-ва \ce{A, I,P} с концентрациями \ce{[A], [I], [P]}, соответственно. Отсюда думаю нетрудно заметить, что поскольку стехиометрические коэффициенты перед каждым в-вом равны, справедливо сказать, что
\ce{[A]_{0}= [A] + [I] + [P]}
Наша задача состоит в том, чтобы выразить текущие концентрации веществ \ce{A} и \ce{I} через начальную концентрацию в-ва \ce{A}, константы скорости, и время. Как это сделать ?
Начнем с в-ва \ce{A}. Думаю, довольно понятно, что скорость расходования этого в-ва будет прямо пропорциональна концентрации этого в-ва, и константой пропорциональности является k_{a}
\ce{-\frac{d[A]}{dt} = k_{a}[A]}
Интегрируем это выражение, и выражаем текущую концентрацию в-ва \ce{A} , и получаем знакомое нам уравнение \ce{[A] = [A]_{0} \cdot e^{-k_{a}t}}.
Теперь, напишем такое же кинетическое уравнение для в-ва \ce{I} :
\ce{\frac{d[I]}{dt} = k_{a}[A] - k_{b}[I]}
Заменяем текущую концентрацию в-ва \ce{A} , и получаем
\ce{\frac{d[I]}{dt}=k_{a}[A]_{0}e^{-k_{a}t}-k_{b}[I]}
\ce{\frac{d[I]}{dt}+k_{b}[I] = k_{a}[A]_{0}e^{-k_{a}t}}
Вот здесь и начинается самое интересное. Давай вспомним знаменитое правило \ce{(uv)' = u'v + v'u}, где \ce{u' = \frac{d[I]}{dt}}. Однако, как можно заметить, у нас отсутствует функция \ce{v_}, но при этом известно что производная этой функции равна \ce{k_{b}}. Как же быть ?
Ответ довольно таки интересный. Чтобы придти к нему, нам надо ответить на вопрос : “производная какой функции будет равна k_{b}, так еще и зависела от времени” ? И на ум в первую очередь приходит функция \ce{e^{k_{b}t}}. Действительно, если умножить все на \ce{e^{k_{b}t}}, то получим следующее :
\ce{\frac{d[I]}{dt}e^{k_{b}t} +k_{b}[I]e^{k_{b}t} = k_{a}[A]_{0}e^{(k_{b}-k_{a})t}}
Теперь, можно заменить левую часть на \ce{\frac{d([I]e^{k_{b}t})}{dt}} :
\ce{\frac{d([I]e^{k_{b}t})}{dt} = k_{a}[A]_{0}e^{(k_{b}-k_{a})t}}
\ce{\int_ d([I]e^{k_{b}t}) = k_{a}[A]_{0} \int e^{(k_{b}-k_{a})t}dt}
Попробуй сам проинтегрировать, и получить почти что готовую формулу :
\ce{[I] = \frac{k_{a}[A]_{0}}{k_{b} -k_{a}}(e^{-k_{a}t}-e^{-k_{b}t})}
Чтобы проверить правильность нашего вывода, можно предположить, что имеет место быть квазистационарному приближению, при котором \ce{k_{b} >> k_{a}}. В таком случае, \ce{[I] = \frac{k_{a}}{k_{b}}[A]_{0}e^{-k_{a}t}= \frac{k_{a}}{k_{b}}[A]}, что полностью соответствует действительности, ибо по приближению, скорость образования \ce{I} равна скорости его расходования (\ce{k_{a}[A] = k_{b}[I]}).
Что-ж… Теперь осталось просто напросто заменить эти выражения в уравнении материального баланса, и тогда получится, что
\ce{[A]_{0}=[A]_{0}e^{-k_{a}t} + \frac{k_{a}[A]_{0}}{k_{b} -k_{a}}(e^{-k_{a}t}-e^{-k_{b}t}) + [P]}
\ce{[P] = [A]_{0}(1 - e^{-k_{a}t} - \frac{k_{a}}{k_{b} -k_{a}}(e^{-k_{a}t}-e^{-k_{b}t}))}
\ce{[P] = [A]_{0}(1 + \frac{k_{a}e^{-k_{b}t} - k_{b}e^{-k_{a}t}}{k_{b} -k_{a}})}
22 лайка
Спасибо огромное)
1 лайк
А куда делась
Kb[I]e^(kbt)
\frac{d(uv)}{dt}=\frac{du}{dt}\cdot v+\frac{dv}{dt}\cdot u
Пусть u=\ce{[I]},\, v=e^{k_bt} :
\begin{gathered}
\frac{d(\ce{[I]}e^{k_bt})}{dt}=\frac{d\ce{[I]}}{dt}\cdot e^{k_bt}+\frac{d(e^{k_bt})}{dt}\cdot\ce{[I]}=\frac{d\ce{[I]}}{dt}\cdot e^{k_bt}+k_b\,e^{k_bt}\cdot\ce{[I]}=
\\
=\frac{d\ce{[I]}}{dt}e^{k_bt}+k_b\ce{[I]}e^{k_bt}
\end{gathered}
Теперь понятно как мы поменяли \displaystyle \frac{d\ce{[I]}}{dt}e^{k_bt}+k_b\ce{[I]}e^{k_bt}\,\, на \displaystyle\,\,\frac{d(\ce{[I]}e^{k_bt})}{dt}?
9 лайков