Выражение для работы адиабатического расширения

Химия Физическая химия
1

Докажите соотношение для работы обратимого адиабатического про-
цесса, приведенное в табл. 3.1 (см. ч. 1).

Ответ:

Указание. Воспользуйтесь выражением для работы (3.5) и уравнением
адиабаты (3.6.а) (см. ч. 1, § 3).

Вот соотношение для работы из таблицы:

-W=\frac{p_1V_1-p_2V_2}{\gamma -1}

А вот выражения 3.5 и 3.6.а:

\tag{3.5} W=-\int\limits_{V_1}^{V_2}p_{ex}dV
\tag{3.6.a} pV^{\gamma}=\pu{const}

Суть в том, что я ничего из этого не использовал😅. Просто, q=0 \Rightarrow w=\Delta U=nC_{V,m}\Delta T[1]:

nC_{V,m}\Delta T=nC_{V,m}\left(\frac{p_2V_2-p_1V_1}{nR}\right)=\frac{C_{V,m}}{R}\left(p_2V_2-p_1V_1\right)
\gamma=\frac{C_{p,m}}{C_{V,m}}=\frac{C_{V,m}+R}{C_{V,m}}=1+\frac{R}{C_{V,m}}\Rightarrow \frac{R}{C_{V,m}}=\gamma-1
w=\frac{p_2V_2-p_1V_1}{\gamma -1}

И это подходит также под необратимый процесс, я не брал, что p_{ex}=p_{int}

Как можно воспользоваться теми двумя выражениями?

  1. Кстати это всегда так? Что \Delta U=nC_{V,m}\Delta T для адиабаты ↩︎

2

можно взять из (3.6а) условие того, что любое произведение давления и объема должно удовлетворять:

pV^\gamma=p_1V_1^\gamma

Дальше вместо p в (3.5) подставляешь соотношение выше и находишь интеграл.

W=-\int_{V_1}^{V_2}{p_1V_1}\frac{dV}{V^\gamma}

Не всегда, внутренняя энергия для неидеального газа применяют в общем случае это:

dU=\left( \frac{dU}{dV}\right)_pdV+\left((\frac{dU}{dp}\right)_Vdp

Можно идти еще дальше и использовать разные математические трюки с тем, что:

\left(\frac{dU}{dp}\right)_V=\left(\frac{dU}{dT}\right)_V \left(\frac{dT}{dp}\right)_V=С_V\left(\frac{dT}{dp}\right)_V
9 лайков
3

Там кстати в полученном выражении после интегрирования удобно будет p_1V_1^\gamma заменить на p_2V_2^\gamma в одном месте, чтобы получить такое соотношение для работы как в таблице

4 лайка
4

А для идеальных всегда? Можно из этого выражения получить для идеальных(?)

5

Да.

Зная условие для идеального газа, что в таком случае, внутреннее энергия никак не будет зависеть от внутренней энергии \displaystyle\left( \frac{dU}{dV}\right)_k=0 . После этого можно вывести такое же уравнение.

2 лайка
6

Чет не понял. Ты имел ввиду внутренняя энергия не будет зависеть от занимаемого объема? Там вместо k,Т должно быть?

7

По определению внутренней энергии dU=TdS-pdV, поэтому для любого (идеального/неидеального) газа при адиабатическом процессе S=const справедливо \Delta U=-\int pdV. Дифференциал внутренней энергии также можно записать как

dU=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_VdT+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_TdV

Для идеального газа частная производная \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T=0, в чем ты можешь убедиться подставив условие pVT^{-1}=const в формулу \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T=T\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V-p. Отсюда и выходит выражение для изменения внутренней энергии идеального газа \Delta U=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\Delta T=C_V\Delta T

1 лайк