По сути, ты скорее прав. Если добавление определенного кол-ва гидрокарбоната натрия не привело к выделению газа, и только дальнейшее добавление привело к выделению газа и выпадению осадка, то самая простая идея, которую можно предложить - в растворе содержались гидроксид ионы, так как сначала гидрокарбонат будет превращаться в карбонат, и только потом протекает какая-то реакция с выделением газа и выпадением осадка. А поскольку в конечном растворе содержался лишь карбонат натрия, довольно справедливо полагать, что в растворе присутствовал именно гидроксид натрия.
Думаю, расчетами довольно легко показать, что соотношение \ce{Na} : \ce{H2O} = 1:5. Пусть x - число атомов натрия в осадке, тогда
M(остаток) = \frac{23x}{0.1204} - 23x - 18 \cdot 5x = 78x \ г/моль
Когда я решал эту задачу, я начинал подбор с идеей о том, что большинство солей являются кислород-содержащими, а посему довольно разумно перебирать разное число атомов кислорода. Ниже приведена таблица с вариантами для x = 1,2 (я ограничился лишь 1 и 2, поскольку при x = 3, число кристаллизационной воды будет 15, что очень сомнительно).
\begin{array}{|l|l|l|}
\hline
M(остаток), \ x=1 &M(остаток), \ x=2 & N(\ce{O}) \\
\hline
62 \ г/моль \ (\ce{P2}) & 140 \ г/моль \ (?) & 1\\
\hline
46 \ г/моль \ (?)&124 \ г/моль \ (?)&2 \\
\hline
30 \ г/моль \ (?)& 108 \ г/моль \ (\ce{Ag})&3 \\
\hline
14 \ г/моль \ (\ce{N})& 92 \ г/моль \ (?)&4 \\
\hline
-&76 \ г/моль \ (?)&5 \\
\hline
-& 60 \ г/моль \ (?)&6 \\
\hline
-& 44 \ г/моль \ (\ce{B4})& 7 \\
\hline
-&28 \ г/моль \ (\ce{N2})& 8 \\
\hline
-&12 \ г/моль \ (\ce{C})&9 \\
\hline
\end{array}
Отсюда у меня получилось парочка вариантов, из которых наиболее адекватным является вариант с бурой (\ce{Na2B4O7 \cdot 10H2O}).
\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline
\ce{NaP2O} & \ce{NaNO4} & \ce{Na2AgO3} & \ce{Na2B4O7} & \ce{Na2N2O8} & \ce{Na2C2O9} \\
\hline
\end{array}
А вот дальнейшие рассуждения вводят меня в тупик. Вполне возможно, что здесь можно сделать какую-то шайтан махинацию, которая приведет к какому-либо ответу. Однако, пока что у меня на этом все.