как можно решить этот вопрос?
h^2+x^2=9^2\\
h=rt(81-x^2)\\
\frac{1}{3(\pi\cdot r^2\cdot h)}\\
V=\frac{1}{3(pi\cdot r^2\cdot rt(81-x^2)}\\
вбил в калькулятор (desmos graphing) и получил макс (7.348, 293.835).
правильно ли решение?
1 лайк
В принципе, да, но можно было обойтись и без графического калькулятора. Ты получил следующее выражение для расчета объема конуса:
V(x)=\frac{1}{3}\pi x^2 \sqrt{81-x^2}
Если взять первую производную V(x) по x и приравнять ее к нулю, то решая полученное уравнение с одной неизвестной x, мы получаем точку(-и) экстремума(-ов).
\frac{dV}{dx}=\frac{1}{3}\pi (2x\sqrt{81-x^2} -\frac{x^3}{\sqrt{81-x^2}}) =0
2x(81-x^2)=x^3 ; \ 162-2x^2 = x^2 ; \ x = \pm \sqrt{54}
По выражению видно, что 0 \le x \le 9 (объем и радиус не могут быть отрицательным), а также V(x) = V(-x). Если первая производная какой-либо функции равна нулю, то эта точка может представлять собой локальный/абсолютный минимум/максимум, или вообще точку инверсии. Можно конечно побаловаться со второй производной, чтобы четко определить, какая это точка, но в данном случае удобнее всего просто сравнить значения V(0), V(\sqrt{54}), V(9):
V(0) = 0 ; \ V(\sqrt{54}) = 54\pi \sqrt{3}; \ V(9) = 0
Отсюда и следует, что точка x = \sqrt{54} соответствует абсолютному максимуму.
6 лайков
Спасибо большое за ответ.
У меня нет знаний по calculus.
Что можно почитать чтобы в этом разобраться? Брал только precalc
1 лайк
Поиск экстремумов функции – школьная программа 10-11 класса. Можно начать оттуда.
Или
1 лайк