Артист на эластичной верёвке

Цирковой артист весом 53,0 кг совершает колебания вверх и вниз на конце длинной эластичной веревки со скоростью один раз в 1,40 с. Эластичная веревка подчиняется закону Гука. На сколько веревка вытягивается за пределы своей ненагруженной длины, когда исполнитель висит в состоянии покоя?

1 симпатия

Отличие верёвки от задачи, например, с пружиной, в том, что сжатия нет. Однако это несущественно, так как в пределах колебаний циркача верёвка уже растянута у положения равновесия x_0. Пока есть место растяжению верёвки, движение циркача подчиняется обычному гармоническому закону

\ddot x + \frac{k}{m}x - g = 0.

Теперь продифференцируем первое уравнение и сделаем замену v=\dot x. Тогда получится гармоническое колебание

\ddot v + \frac{k}{m}v = 0,

решением дифференциального уравнения которого является

v = v_0 \cos \left(\sqrt{\frac{k}{m}} t \right)

В таком случае период его колебаний равен

T = 2π\sqrt{\frac{m}{k}} = 1.40 \space с.

В положении равновесия растяжение верёвки равно x_0 = mg/k. Тогда можем получить ответ

x_0 = \frac{gT^2}{4π^2}=48.7 \space см.
8 симпатий
© 2021-2022 Общественный Фонд «Beyond Curriculum» (CC BY-NC-SA 4.0 International)