Запись в виде наблы – формальность для удобства записи выражения. Ты его можешь рассматривать как трёхмерный вектор, у которого длина вдоль оси x равна \frac{\partial}{\partial x}, вдоль y – \frac{\partial}{\partial y}, вдоль z – \frac{\partial}{\partial z}, или, как написано в первой строке,
Почему градиент записывается именно как \nabla f? Ты можешь формально рассматривать это как самое обычное произведение:
\nabla f = \left (\vec i \frac{\partial}{\partial x} + \vec j \frac{\partial}{\partial y} + \vec k \frac{\partial}{\partial z}\right) f = \vec i \frac{\partial f}{\partial x} + \vec j \frac{\partial f}{\partial y} + \vec k \frac{\partial f}{\partial z}
Аналогично дивергенция является формальной записью скалярного произведения векторов \nabla и \vec E:
\nabla \cdot \vec E = \left (\vec i \frac{\partial}{\partial x} + \vec j \frac{\partial}{\partial y} + \vec k \frac{\partial}{\partial z}\right) \cdot \left(\vec i E_x + \vec j E_y + \vec k E_z\right) = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}.
И, наконец, ротор, что является уже векторным произведением указанных векторов. Чтобы легче запомнить его формулу в декартовых координатах, ты можешь представить векторное произведение (можно любой обычный вектор вместо наблы) в виде матрицы и находишь её детерминант: