Как можно понять дивергенцию и ротор
1 лайк
Поидее можно с нуля самому вывести формулы для расчета дивергенции и ротора векторной функции, тогда их смысл должен стать ясным
2 лайка
Я их вывел, но по идее мой вопрос был можно ли моим способом объяснить дивергенцию от ротора)
Ты хотел доказать перпендикулярность \nabla и \nabla\times\vec A?
2 лайка
Да, так как векторное произведение набла на любой вектор будет ему же перпендикулярен
Хотя странно понимать набла как вектор. Как можно было бы это по другому объяснить
1 лайк
2 лайка
Здесь можно напрямую посчитать \nabla(\nabla\times \vec A)
\nabla\times \vec A=\hat x\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)+\hat y\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)+\hat z\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)
\nabla(\nabla\times \vec A)=\frac{\partial \left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)}{\partial x}+\frac{\partial \left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)}{\partial y}+\frac{\partial \left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)}{\partial z}
Дальше используя \frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x} можно получить \nabla(\nabla\times \vec A)=0
7 лайков
А ещё в общем случае, когда рассматриваешь \nabla как вектор, то, по правилу смешанного произведения,
\vec a\cdot(\vec b\times\vec c) = \vec b\cdot(\vec c\times\vec a)=\vec c\cdot(\vec a\times\vec b),
то есть если менять местами вектора “по кругу”, то выражение остаётся как есть. Можешь раскрыть (\vec a+\vec b)\cdot((\vec a+\vec b)\times\vec c)=0 для доказательства.
В таком случае, можно написать
\nabla\cdot(\nabla\times\vec a)=(\nabla\times\nabla)\cdot\vec a,
что очевидно даёт нуль.
6 лайков
А как вообще определить \nabla \times \nabla?
Как написано в Савельеве:
это вектор с компонентами частных производных по трем координатам. Сам по себе вектор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую он символически умножается.
Но при этом немного не понятно, что это вектор, сам по себе не имеющий смысла. Можно ли сравнить это с коэффициентом трения, что оно тоже само по себе не имеет смысла? Почему если это вектор, то значок вектора не ставится над ним? В Савельеве доказывалось дивергенция от ротора, как-то через объём параллелипипеда, но я не нашёл про это информацию. Как можно набла представить как вектор?
Представить ее как отдельный вектор нельзя, ведь \nabla
\nabla=\hat x\frac{\partial }{\partial x}+\hat y\frac{\partial }{\partial y}+\hat z\frac{\partial }{\partial z}
является векторным дифференциальным оператором.
Ну как сказано тут смысл она приобретает только тогда, когда умножается на какую-то функцию
2 лайка
Ну вот смотрите. Чему равна производная x^2 по x?
Процесс взятия производной можно обозначить оператором \frac{d}{dx}. Тогда:
\frac{d}{dx} x^2 = 2x
Мы можем применять к \frac{d}{dx} к любой функции f и понимать что происходит с физической точки зрения.
Но что такое \frac{d}{dx} сам по себе? Не больше, чем математический оператор. Точно также и с \nabla.
2 лайка
Вроде так
\displaystyle{\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \vec i + \frac{\partial}{\partial y} \vec j + \frac{\partial}{\partial z} \vec k }
\displaystyle{\nabla \times \nabla = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\end{vmatrix}} = 0 \cdot \vec i + 0 \cdot \vec j + 0 \cdot \vec k
2 лайка