У меня вопрос насчет вектора C. Разве он не должен смотреть вниз?
Еще у меня один глупый вопрос, но что такое вектор А?
@eudaimon для контекста, вот текст с приложенной картинки:
на этот контур. Имея в виду прием, указанный на рис. 140, достаточно доказать формулу (56.7) для бесконечно малого контура. Бесконечно малый контур можно рассматривать как плоский. Пусть \mathbf{n} — единичная нормаль к плоскости такого контура, а \mathbf{N} — единичная нормаль к самому контуру, лежащая в его плоскости (рис. 141). Введем вектор \mathbf{C} = [\mathbf{A}\mathbf{n}], получающийся из \mathbf{A} путем поворота вокруг нормали \mathbf{n}. Ясно, что вектор \mathbf{C} лежит в плоскости контура. Применим к нему математическую формулу Гаусса—Остроградского
\oint (CN)\, ds = \int \text{div}\,\mathbf{C}\, dS.
Легко показать, что \text{div}\, \mathbf{C} = \text{div}[\mathbf{A}\mathbf{n}] = \mathbf{n}\, \text{rot}\, \mathbf{A}. Кроме того,
(CN) = [\mathbf{A}\mathbf{n}] \mathbf{N} = \mathbf{A} [\mathbf{n}\mathbf{N}] = (\mathbf{A} \mathbf{\tau}),
где \mathbf{\tau} = [\mathbf{n}\mathbf{N}] — единичный вектор касательной к контуру s. В результате получим
\oint (\mathbf{A}\mathbf{\tau})\, ds = \int (\mathbf{n}\, \text{rot}\, \mathbf{A})\, dS,
что и доказывает теорему. Из доказанного следует:
\text{rot}_n\, \mathbf{A} = \lim_{S \to 0} \frac{1}{S} \oint (\mathbf{A}\, ds).
\tag{56.8}
Этим дается инвариантное определение проекции ротора \mathbf{A} на направление произвольного вектора \mathbf{n}, а следовательно, и инвариантное определение самого ротора.
Помоги ответить на вопрос @misqwx:
У меня вопрос насчет вектора C. Разве он не должен смотреть вниз? Еще у меня один глупый вопрос, но что такое вектор А?
Здравствуйте!
- Относительно вашего вопроса о векторе \mathbf{A}:
В данном контексте \mathbf{A} — это некоторое векторное поле, для которого рассматривается циркуляция по контуру и его ротор. В электродинамике \mathbf{A} часто обозначает векторный потенциал магнитного поля. Он связан с магнитным полем \mathbf{B} через соотношение \mathbf{B} = \text{rot}\, \mathbf{A}. В рассматриваемом параграфе важна общая формула для ротора векторного поля через циркуляцию по бесконечно малому контуру.
- По поводу направления вектора \mathbf{C}:
Вектор \mathbf{C} определяется как векторное произведение векторов \mathbf{A} и \mathbf{n}:
\mathbf{C} = [\mathbf{A} \mathbf{n}],
где \mathbf{n} — единичная нормаль к плоскости бесконечно малого контура. При взятии векторного произведения порядок векторов имеет значение, так как векторное произведение антикоммутативно: [\mathbf{A} \mathbf{n}] = -[\mathbf{n} \mathbf{A}].
Направление вектора \mathbf{C} определяется по правилу правой руки:
- Поместите правую руку так, чтобы пальцы были направлены в направлении вектора \mathbf{A}.
- Сгибайте пальцы в направлении поворота к вектору \mathbf{n} (учитывая порядок: от \mathbf{A} к \mathbf{n}).
- Тогда вытянутый большой палец укажет направление вектора \mathbf{C}.
Поскольку \mathbf{n} — нормаль к плоскости контура, а \mathbf{A} — произвольный вектор в пространстве, вектор \mathbf{C} будет лежать в плоскости контура и перпендикулярен как \mathbf{A}, так и \mathbf{n}.
Если вам кажется, что вектор \mathbf{C} должен “смотреть вниз”, возможно, вы:
- Перепутали порядок векторов в векторном произведении (взяв [\mathbf{n} \mathbf{A}] вместо [\mathbf{A} \mathbf{n}]).
- Используете другую систему координат или другое направление для нормали \mathbf{n}.
Важно точно следовать определениям и учитывать порядок векторов в векторном произведении.
Пример для наглядности:
- Если вектор \mathbf{A} направлен вправо, а нормаль \mathbf{n} направлена вверх, то по правилу правой руки вектор \mathbf{C} = [\mathbf{A} \mathbf{n}] будет направлен “от нас”, то есть перпендикулярно плоскости, в которой лежат \mathbf{A} и \mathbf{n}.
Надеюсь, это проясняет ваш вопрос. Если у вас остались какие-либо сомнения или нужны дополнительные разъяснения, пожалуйста, дайте знать!
1 лайк
Да, \mathbf C должен быть направлен вниз. Но это не отменяет истинность дальнейших формул.
Eudaimon здесь уже ответил. Это произвольный вектор, который зависит от координат. \mathbf A = \mathbf A(x, y, z). Вспомни про формулу Гаусса-Остроградского. Она верна не только для напряженности электрического поля \mathbf E, но и для других векторов, у которых даже необязательно должен быть физический смысл. Здесь ротор определяется для таких же любых векторов.
1 лайк
Большое спасибо!
По поводу физического смысла векторного потенциала магнитного поля есть крутой эксперимент.
2 лайка