Как использовать формулу Био-Савара?


Есть упрощенный вид этой формулы? Если нет, то как вообще эту формулу использовать, как выводить из интеграла?

1 симпатия

В этой же книге есть же примеры:
Допустим этот:
Снимок экрана 2022-07-07 200105
По закону Био-Савара:

\overrightarrow{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint\frac{I(\overrightarrow{dl}\times\overrightarrow{r})}{r^3}

Как видно из рисунка для этого случая справедливы эти соотношения:

rd\alpha=dlcos\alpha, b=rcos\alpha

Модуль векторного произведения dl\times r:

|dl\times r|=dlrsin\theta=dlrsin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=dlrcos\alpha


\theta-угол между векторами \overrightarrow{dl}, \overrightarrow{r}
Если ты не знал что такое векторное произведение:

|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|=absin\theta

то есть, чтобы найти модуль векторного произведения векторов а и b нужно умножить их модули и синус угла между ними
Модуль магнитной индукции:

B=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{Idlcos\alpha}{r}

Подставляем dl из вышеприведенных связей (чтобы перейти из переменной r к переменной \alpha):

B=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{Icos\alpha d\alpha}b=\frac{\mu_0I}{2b\pi}

Рассмотрим еще один пример:


Очевидно ток по проводнику формы полуокружности будет течь по касательной к проводнику, значит угол \theta=\frac{\pi}{2}:

|\overrightarrow{dl}\times\overrightarrow{r}|=dlrsin\theta=dlr

Закон Био-Савара:

\overrightarrow{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint\frac{I(\overrightarrow{dl}\times\overrightarrow{r})}{r^3}

Модуль магнитной индукции:

B=\int\limits_{0}^{\pi R}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idl}{r^2}=\frac{\mu_0I}{4R}
5 симпатий

Хм, а что означает интеграл заключенный по поверхности(или поверхностный интеграл)? И как его находить? Или мы пишем кружочек, имея ввиду, что это для общего случая, а так он находится, как определённый интеграл?

1 симпатия

Я как раз этот пример не понял) спасибо за подробное объяснение

1 симпатия

Общий вид интеграла по поверхности

\int\limits_{S}^{}\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{da}

\overrightarrow{da}-нормальный вектор
Снимок экрана 2022-07-07 205112

Интеграл

\oint

называется интегралом по замкнутой поверхности/контуру
Этот интеграл используется для фигур с замкнутыми поверхностями, как шар

Есть допустим теорема гаусса

\oint\overrightarrow {E} \cdot \overrightarrow{dS}=\frac{q}{\varepsilon_0}
3 симпатии

по идее, в \LaTeX есть отдельная команда для векторов \vec{v}\cdot d\vec{a} $\vec{v}\cdot d\vec{a}$

3 симпатии