x^2 + 2x- xy - 3y = 11
Решаем в целых: (x,y) \in \mathbb{Z}^2
Уравнение равносильно следующему:
(x+3) \cdot y = x^2 + 2x -11
Давай рассмотрим два случая
1)x+3 = 0 \to линейное уравнение относительно y решаем, получаем решение
\displaystyle 2)x + 3 \neq 0 \implies y = \frac{x^2 + 2x - 11}{x+3} \in \mathbb{Z} \implies \gcd(x^2+2x-11, x+3) = x+3
С другой стороны по алгоритму Евклида
(x^2 + 2x - 11, x+3) = (x^2 + 2x - 11 - x\cdot(x+3), x+3) = (-x - 11, x+3) =
=(x+11, x+3)(x+11 - (x+3), x+3) = (8, x+3) = x+3\implies x+3 \mid 8
\implies x \in \{5, 1, -5, -7, -11\}
рассматривая отдельно каждый случай, в каждом из них получаем линейное уравнение относительно y, решаем, получаем решения
3 лайка