x^3 - y^3=xy + 61
x, y натуральные числа. Надо найти x, y
1 лайк
Можно предположить, что если x и y имеют большую разницу и/или являются достаточно большими, правая сторона уравнения будет слишком маленькой. Тогда обозначим x=y+z, z>0.
Допустим, z=1. Тогда
3y^2+3y+1=y^2+y+61
\\
y(y+1)=30 \Rightarrow
\\
y=5; x=6
Теперь пусть z\ge2:
3y^2z+3yz^2+z^3-yz-y^2=61
Используем то, что y^2z>y^2 и yz^2 > yz, тогда
61> 2y^2z+2yz^2+z^3\ge 4y^2+8y+8
\\
14>y(y+2)
Осталось рассмотреть y=1, \ y=2
-
y=1
x^3-x=62
Но такое выражение должно делиться на 3, но 3 \nmid 62 -
y=2
x^3-2x=69
Учитывая x | 69, несложно рассмотреть варианты и понять, что ответов нет
6 лайков