Неравенство. Найти минимальную оценку выражения

Математика Алгебра
1

Для положительных вещественных чисел a, b, c выполнено равенство \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a+b+c . Для какого минимального k будет гарантированно выполнено неравенство

\frac{1}{(2 a+b+c)^{2}}+\frac{1}{(2 b+c+a)^{2}}+\frac{1}{(2 c+a+b)^{2}} \leq k ?
3 лайка
3

Мое решение до боли некрасивое, но в познавательных целях думаю можно приложить :wolf:

Докажем, что ответ k=\frac{3}{16}. Не сложно видеть, что при a=b=c=1 данная оценка достигается. Тогда достаточно показать справедливость неравенства

\sum_{cyc}\frac{1}{(2a+b+c)^2} \le \frac{3}{16}.

Заметим, что (2a+b+c)^2 = ((a+b)+(a+c))^2 \ge 4(a+b)(a+c). Следовательно,

\sum_{cyc}\frac{1}{(2a+b+c)^2} \le \sum_{cyc}\frac{1}{4(a+b)(a+c)} = \frac{a+b+c}{2(a+b)(b+c)(c+a)}.

То есть, достаточно доказать неравенство

\frac{a+b+c}{2(a+b)(b+c)(c+a)} \le \frac{3}{16} \iff 8(a+b+c) \le 3(a+b)(b+c)(c+a).

Из условия следует, что abc(a+b+c)=ab+bc+ca. Тогда неравенство выше равносильно неравенству

8abc(a+b+c)^2 \le 3(ab+bc+ca)(a+b)(b+c)(c+a).

(Это мы сделали, чтобы привести неравенство в однородный вид и, тем самым, избавиться от условия a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.)

Раскроем скобки. Получим

8\sum_{cyc}a^3bc + 16\sum_{cyc}a^2b^2c \le 3\sum_{sym}a^3b^2 + 6\sum_{cyc} a^3bc + 12\sum_{cyc}a^2b^2c.

После сокращения 6\sum_{cyc} a^3bc и 12\sum_{cyc}a^2b^2c имеем

2\sum_{cyc}a^3bc + 4\sum_{cyc}a^2b^2c \le 3\sum_{sym}a^3b^2 \iff T(3,1,1) + 2\cdot T(2,2,1) \le 3\cdot T(3,2,0),

где T – симметрический многочлен от переменных a,b,c. Поледнее верно по неравенству Мюрхеда.

5 лайков
4

Конец мне кажется усложнен. Можно использовать классическое неравенство

8(a+b+c)(ab+bc+ca) \leq 9(a+b)(b+c)(c+a)

Тогда останется доказать, что 3 \leq ab + bc + ca. Это следует из условия задачи при замене x = ab, y = bc, z =ca:

3(x + y + z) = 3(xy + yz + zx) \leq (x + y + z)^2 \iff \\ \ \\ \iff 3 \leq (x + y + z),
5 лайков
5

Кстати да, забыл про это неравенство
Оказывается довольно легко решается :sneezing_face: