Формула приблизительного корня

Математика Алгебра
1

Добрый вечер!
Я наткнулся на эту формулу:

\sqrt{A} = \sqrt{b^{2} + c} \;\approx\; b + \frac{c}{2b}

Где A — произвольное положительное число, квадратный корень которого нужно найти;
b^{2} — ближайший к нему целочисленный квадрат (честно не уверен обязательно ли b^{2} \leq A);
c = A - b^{2} — разность между числом A и выбранным квадратом.

Мне вовсе неочевидно почему эта формула работает и доказательства (ну или вообще почему это приближение считается верным) к ней я не нашел, может ли кто-нибудь объяснить почему она работает?

1 лайк
2

Приблизительную формулу можно переписать в другом виде

b+\frac{c}{2b}= \sqrt{b^2+c+\frac{c^2}{4b^2}}=\sqrt{A+\frac{c^2}{4b^2}}

Тут уже глазами видно, что последнее слагаемое под корнем маленькое, но можно оценить ошибку сверху.

Формула работает лучше, если не ограничивать себя квадратами меньше, а выбирать ближайший (для примера опробуйте число A=24)

Пусть ближайший квадрат это b^2, тогда число \bf c должно быть меньше чем расстояние до следующего квадрата (ну или до предыдущего, но суть оценок не меняется), т.е. \bf c меньше чем половина от (b+1)^2-b^2= 2b+1, т.е. с\leqslant b

\sqrt{A} <\sqrt{A+\frac{c^2}{4b^2}}\leqslant \sqrt{A+\frac{b^2}{4b^2}} = \sqrt{A+1/4}

Получается ошибка метода точно меньше чем

\sqrt{A+1/4}-\sqrt{A}

Попробуйте оценить это значение сами

4 лайка
3

огромное спасибо! До меня доперло.