Колебания Сивухин

[Upward (Tair)]

1. Материальная точка движется в поле тяжести по хорде круга без на-
   чальной скорости (рис. 92). Показать, что время ее движения из точки А в нижнее
   положение В не зависит от положения точки А на окружности. (Этот факт был
   использован Галилеем для установления законов малых колебаний математи-
   ческого маятника. Для нахождения периода колебаний маятника Галилей за-
   менил малую дугу окружности АДВ, по которой движется материальная точка,
   хордой АВ). Вычислить период колебаний маятника в этом приближении и убедиться, что оно приводит к правильной зависимости периода колебаний от длины
   маятника I и ускорения силы тяжести g. Сравнить результат с правильной формулой (41.3)
   
   
   
   
   
   
   
   

Не могу понять почему в ответе совсем нету числа pi, мой ответ не совпадает а их вводит в заблуждения.

[Damir (Yekibayev Damir)]

Видно что ты не понял задачу. Ты взял длину хорды AB как длину нити маятника, хотя по условию задачи AB это траектория движения материальной точки. Здесь длина нити маятника это CB

[Upward (Tair)]

извините я просто как мне удобно за длину l взял длину хорды,а так в вычислениях это мне не мешало(просто обозначение).Но почему длина нити маятника СВ
ведь это длина радиуса так как круг описывает траекторию?

[Damir (Yekibayev Damir)]

Да, ведь ты же рассматриваешь математический маятник. И вот поэтому траектория материальной точки, привязанной к нити должна быть дуга ADB, но в условии говорится что траекторию можно рассматривать как AB

[Upward (Tair)]

да я так и решал,посмотрите решение пожалуйста,а то я не пойму где ошибка(

[Damir (Yekibayev Damir)]

То что ты записал уравнение колебания в виде \frac{d^2(\cos\varphi)}{dt^2}+\omega^2\cos\varphi=0 выглядит очень стремно. Пытайся прийти к уравнению вида \ddot \theta+\omega^2_0\theta=0, угол \theta показан на рисунке. И также когда у тебя выходят косинусы ты можешь смело использовать приближение \cos\theta\approx1-\frac{\theta^2}{2}, так как \theta<<1

Если продиффуришь энергию то задача должна легко решаться

[Upward (Tair)]

приду домой решу,потом галочку поставлю,а так рахмет)

[Upward (Tair)]

Извините что так поздно.Я пришел к более правильной записи колебаний,продеффиринцировав энергию, но к сожалению у меня выходит ответ как если бы тело двигалось по дуге,а в ответе так другое.

[Damir (Yekibayev Damir)]

Здесь энергию нужно записывать как

E=\frac{m\dot x^2}{2}+mg(R-r\cos\theta)

, так как тело движется прямолинейно. Используя рисунок ты можешь связать некоторые параметры из геометрических соображений

[Upward (Tair)]

Так же выходит

[Damir (Yekibayev Damir)]

у тебя там r тоже меняется

[Upward (Tair)]

можете еще одну подсказку дать пожалуйста, а то я не могу с математикой разобраться здесь.Я только вот такую замену нашел самую легкую вроде как d0*r=dx

[Damir (Yekibayev Damir)]

Есть теорема косинусов

x^2=R^2-2rR+r^2+Rr\theta^2

Можно продиффурить ее

2x\dot x=-2\dot rR+2r\dot r+R\dot r\theta^2+2\dot \theta\theta Rr

Также диффуришь энергию

E=\frac{m\dot x^2}{2}+mg\left(R-r\left(1-\frac{\theta^2}{2}\right)\right)\rightarrow \ddot x\dot x-g\dot r+\frac{g\dot r \theta^2}{2}+gr\theta\dot\theta=0

Попробуй прийти к уравнению гарм. колебаний оставляя члены первого порядка. Наверное можно еще попробовать решить методом Лагранжа.

[amirbek (Амирбек)]

Мне кажется, вы слишком сильно усложняете задачу. В используемом приближении колебаний в виде \ddot{x} + \omega^2x = 0 не должно быть, так как ускорение постоянно.

Здесь нужно выразить длину хорды через радиус l и какой-то угол (например, центральный). Затем, выражая ускорение через этот же угол, найди время движения точки из A в B. Это время и будет четвертью периода.

@Damir

Здесь длина нити маятника это CB

OB, нужно сперва рассмотреть движение без приближения.

[Upward (Tair)]

ахахаха как я на такое купился,это же самое тривиальное решение,а я начал искать решение через колебания.Спасибо большое, Дамир вам тоже