Путаница с пределами интегрирования

Физика Механика
1

Доброго времени суток, у меня есть вопрос по одной задаче на тело протяженной массы. Вот её условие:

Снимок 18.07.2023 в 13.03
Снимок 18.07.2023 в 13.032122×616 246 KB

Я эту задачу уже решал , но через теорему о движении центра масс, теперь решал через интегралы, но что-то не выходит. Прикладываю моё решение :

IMG_0322
IMG_03221920×1295 122 KB

У меня вопрос касательно 3 пункта , потому что у автора этой задачи немного другой ответ:
IMG_0323
IMG_03231920×410 30.8 KB

Может у меня в решении где-то ошибка?

2

Ты ошибся знаком в интегрировании. Здесь ты правильно указал направление увеличения силы натяжения, то есть сила натяжения растет с приближением к оси вращения, так как центробежная сила на элемент массы dM должен компенсироваться силой
натяжения dT
image

Если x это расстояние от оси вращения, которое отсчитывается от оси вращения в сторону шарика, то очевидно, что знаки dT и dx должны быть разные, так как сила натяжения T увеличивается в сторону оси вращения, тогда как x в противоположную сторону - в сторону шарика. Поэтому здесь нужно писать

\int dT=-\int \frac{M\omega^2}{L}xdx\rightarrow T(x)=-\frac{M\omega^2x^2}{2L}+C

Дальше используя условие T(L)=m\omega^2L ты можешь найти константу C. Получается твоя ошибка была в самом начале: ты неправильно написал равенство сил для элемента массы dM. Эту ошибку кроме того как зная, что знаки dT и dx должны быть разные, также можно исправить рассмотрев вектора сил, действующих на dM. Понятно, что никаких других сил инерции, кроме центробежной нет (так как модуль вектора угловой скорости вращения \omega=const и dM всегда находится на фиксированном расстоянии от оси вращения)(\vec \omega\perp\vec r,\quad\vec r=\hat xx )

d\vec F=d\vec T=-dT\hat x=-dM(\vec \omega\times (\vec \omega \times \vec r))=-dM(\vec \omega(\vec \omega\vec r )-\omega^2\vec r)\rightarrow dT=-dM\omega^2x
2 лайка
3

Вы меня не так поняли, x это расстояние от правого конца каната о кусочка массой dM, я пробовал решать когда x это расстояние от оси вращения , но там я минус не учитывал как вы говорите. Сейчас же немного другая ситуация , поэтому я считаю что

минус перед интегралом не нужен

4

Хорошо, если ты отсчитывал x от правого конца каната, то уравнение должно записываться как

dT=\frac{M\omega^2}{L}(L-x)dx

Причем здесь как видишь минуса нет, но расстояние нужно брать от оси L-x вместо x как вы написали. Поэтому если то что вы написали сверху это с учетом отсчитывания x от правого конца (я кстати только заметил что ты направил ось вправо), то твое dT=\ M\omega^2xdx неверно. Здесь нужно использовать условие T(0)=m\omega^2L

В моем случае, где ось x направлена влево в сторону шарика все верно и минус перед интегралом должен стоять. Вне зависимости от того, куда ты направляешь ось ответ должен выйти один и тот же

2 лайка
5

Да, это моя невнимательность. Но тогда другой вопрос: в левой части величина dT изменяется от T(x) до T(L), но тогда координата меняется от x до L?
И кстати когда вы это записывали , вы забыли разделить на L, тогда должно получится dT=Mω^2(L−x)dx/L

6

Я все это рассматриваю отсчитывая от правого конца каната

7

Поидее да

\int\limits_{T(x)}^{T(L)} dT=\int \limits_{x}^{L}\frac{M\omega^2}{L}(L-x)dx\rightarrow T(L)-T(x)=\frac{M\omega^2}{L}\left(\frac{L^2}{2}-\left(Lx-\frac{x^2}{2}\right)\right)

Но мы же не знаем значение T(L), а знаем, что T(0)=m\omega^2L, поэтому

\int\limits_{T(0)}^{T(x)}dT=\int\limits_{0}^{x}\frac{M\omega^2}{L}(L-x)dx\rightarrow T(x)-T(0)=\frac{M\omega^2}{L}\left(Lx-\frac{x^2}{2}\right)\rightarrow T(x)=m\omega^2L+\frac{M\omega^2}{L}\left(Lx-\frac{x^2}{2}\right)

Зависимость T(x) если отсчитывать x от правого конца

T^{(пр.)}(x)=m\omega^2L+\frac{M\omega^2}{L}\left(Lx-\frac{x^2}{2}\right)

И оно отличается от функции натяжения если бы мы отсчитывали x от левого конца

T^{(лев.)}(x)=m\omega^2L+\frac{M\omega^2L}{2}-\frac{M\omega^2x^2}{2L}

Если наш ответ верный, то силы натяжения в любой точке каната должен быть одинаковым для если мы считаем x от левого конца или от правого. Возьмем самую левую точку каната, тогда для нее должно выполняться равенство T^{(лев.)}(0)=T^{(пр.)}(L):

T^{(пр. )}(L)=m\omega^2L+\frac{M\omega^2L}{2}\quad T^{(лев.)}(0)=m\omega^2L+\frac{M\omega^2L}{2}

Видно, что T^{(лев.)}(0)=T^{(пр.)}(L), можно взять и правую точку каната или середину, в общем для любых точек выйдут одинаковые значения натяжений. Поэтому наш ответ является верным. В задаче не сказали о том, как именно отсчитывать x, но зато сказали что x это расстояние от оси вращения (перечитайте условие), значит отсчитывать нужно с левого конца, так как если отсчитывать от правого конца то расстояние от оси у нас будет L-x, как уже было упомянуто. В принципе и то и другое не является неправильным, но нужно понимать что зависимости T^{(пр.)}(x) и T^{(лев.)}(x) могут отличаться, но по сути они эквивалентны и дают одинаковые значения натяжения для всех точек каната

2 лайка
8

Благодарю за ответ, все стало понятно