1.5.10 По внутренней поверхности закрепленного цилиндра радиуса 2r катится без проскальзывания колесо радиуса r. Найдите траекторию точки обода колеса.
Не понял условие Как решить задачу?
Не понял условие Как решить задачу?
2 лайка
Перед тем, как решать лучше решить три задачи попроще.
- Камень бросили со скоростью v_0 под углом \alpha к горизонту из точки с координатами (x_0,y_0). Найдите его траекторию.
- Диск закреплён с центром в точке (x,y) и свободно вращается с угловой скоростью \omega. Найдите траекторию точки на расстоянии r от центра диска.
- Колесо радиуса r катиться без проскальзывания по горизонтальной плоскости со скоростью v. Найдите траекторию точки на ободе колеса, если в начальный момент времени она имела координаты
a. (0, 2r)
b. (x_0, y_0)
Данная задача является немного усложнённой версией задачи 3, где вместо плоскости колесо катиться по внутренней стороне цилиндра (при этом цилиндр не двигается).
7 лайков
Задача решена, но мало-ли кому-то на будущее, а то зря писал что-ль)
Когда перейдете к решению этой задачи, вы можете рассмотреть конкретную точку на колесе и ее уравнение. Для удобства можете поместить колесо в самую правую часть цилиндра и взять точку касания. Для начала рассмотрите движение точки относительно центра колеса (не цилиндра), запишите уравнение для каждой из осей (система 1, примите точку центр колеса началом координат):
x_{\text{point}} = f(t)
y_{\text{point}} = f(t)
Спойлер
x_{\text{point}} = cos(\omega t)
y_{\text{point}} = sin(\omega t)
Где t - это текущий момент времени. Затем проведите туже операцию, но уже рассмотрите движение центра колеса относительно центра цилиндра (система 2, примите точку центр цилиндра началом координат):
x_{\text{wheel center}} = f(t)
y_{\text{wheel center}} = f(t)
Спойлер
x_{\text{wheel center}} = cos(\omega t)
y_{\text{wheel center}} = -sin(\omega t)
Уделите пристальное внимание знаку который стоит перед тригонометрической функцией в каждом из 4 уравнений, вам поможет рассматривание направления вращения точек (по часовой / против). Также сравните циклические чистоты для двух систем, они равны, или нет?
Спойлер
Знак у sin( \omega t) отрицательный так как центр колеса движется против положительного направления оси Oy после начала движения
Циклические частоты равны, так как за один полный оборот центра колеса вокруг цилиндра, точка на колесе делает один оборот вокруг своего центра
После проведения всех этих действий вспомните общее уравнение движения точки по окружности и запишите его для системы 1 (начало отсчета - центр цилиндра):
Спойлер
x_{\text{point}} - x_0= cos(\omega t)
y_{\text{point}} - y_0 = sin(\omega t)
Теперь у вас появилась система с x_0 и y_0, это - точки центра вращения, то есть центра колеса, подставьте вместо x_0 и y_0 значения x_{\text{wheel center}} = f(t) и y_{\text{wheel center}} = f(t), приведите подобные и получите искомую траекторию.
Спойлер
x_{\text{point}} - cos(\omega t)= cos(\omega t)
y_{\text{point}} - (-sin(\omega t))= sin(\omega t)
Ну и в итоге
x_{\text{point}} = 2cos(\omega t)
y_{\text{point}} = 0
Заметьте, что по значению ординат ваше уравнение будет выглядеть y = 0. Значит движение происходит в одной оси и траектория представляет из себя отрезок прямой, проходящей через центр цилиндра и точку касания
10 лайков