"Ломоносов" математика, 2019 год, 7-8.3 Геома

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С проведены биссектрисы BD и высота CH. Из вершины С на биссектрису BD опущен перпендикуляр CK. Найдите угол HCK, если BK : KD = 3 : 1. (Прошу использовать теорию по геометрии на уровне 7-8 классов)

Решение 1 - с помощью знаний и навыков школьной программы 7-8 классов.
Поймем, что \angle HCK = \angle BCK - \angle BCH. При этом известный факт, что \angle BCK = \angle BDC (т.к. \triangle BCK \sim \triangle BDC), а \angle BCH = \angle BAC (т.к. \triangle BCH \sim \triangle BAC). Поэтому \angle HCK = \angle BCK - \angle BCH = \angle BDC - \angle BAC = \angle ABD = \angle CBD (поскольку BD - биссектриса). Тем самым мы понимаем, что чтобы найти \angle HCK = \angle CBD, достаточно найти \angle CBD.
Используя, BK:KD найдем \angle CBD.
Пусть KD = x и BK = 3x. Из \triangle BCK \sim \triangle DCK знаем, что CK^2 = BK \cdot KD = 3x^2.
Тогда по Теореме Пифагора в \triangle BCK:
BC^2 = BK^2 + CK^2 = 9x^2 + 3x^2 = 12x^2 = 4 \cdot 3x^2 = 4 \cdot CK^2. То есть BC = 2 \cdot CK, что равносильно \angle CBD = 30^{\circ} = \angle HCK.
Решение 2 - с помощью знаний и навыков доступных олимпиадникам-восьмиклассникам
Шаг 1 – доказать, что \angle HCK = \angle HBK = \angle CBD через вписанность четырехугольника CKHB.
Шаг 2 – выразить BK и KD через KC, \sin \angle CBD и \cos \angle CBD. Далее из CK^2 = BK \cdot KD получить, что \ctg^2 \angle CBD = 3, т.е. \angle CBD = 30^{\circ}.

4 симпатии