Да можно и самому вывести:
Сначала используем теорему гаусса:
Ф=\int_S \vec E \vec{dS}=E(4\pi r^2)=\frac{\rho(\frac{4\pi r^3}{3})}{\varepsilon_0} \Rightarrow E=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}
Напряженность в векторном виде:
\vec E=\frac{\rho \vec r}{3\varepsilon_0}
Используя это напишем выражение для вектора напряженности в области пересечения двух разноименно заряженных шаров: (в некоторой точке P этой области)
По принципу суперпозиции:
\vec E=\vec E_++\vec E_-
А напряженности \vec E_+, \vec E_- (в точке P) определяем по выражению выше:
\vec E_+=\frac{\rho\vec r_+}{3\varepsilon_0}, \vec E_ -=-\frac{\rho\vec r_ -}{3\varepsilon_0}\Rightarrow \vec E=\frac{\rho\vec r_+}{3\varepsilon_0}-\frac{\rho\vec r_ -}{3\varepsilon_0}=\frac{\rho(\vec r_+-\vec r_ -)}{3\varepsilon_0}
Как видно с рисунка:
\vec r'=\vec r_+-\vec r_ -\Rightarrow \vec E=\frac{\rho\vec r'}{3\varepsilon_0}
Дальше посмотрим на зависимость толщины l' от полярного угла:
\theta=0 \Rightarrow l'=r'
\theta=\frac{\pi}{2}\Rightarrow l'=0
Исходя из условий выше (которые интиутивно понятны) легко находим:
l'=r'\cos\theta
\sigma(\theta)=\rho l'=\rho r' \cos \theta
Можно это также выразить через напряженность поля:
\sigma (\theta)=3\varepsilon_0E\cos \theta
Подробнее об этом можно почитать вроде в 3-томе Сивухина (в начальных параграфах), а к тому же есть задача на жауте на эту тему (ну часть задачи):
