Объёмная плотность поляризационных зарядов

Физика Электромагнетизм
21
\oint \vec E\vec {dS}=\frac {q+q'}{\varepsilon_0}=\frac{q}{\varepsilon\varepsilon_0}\Rightarrow \frac {\sigma+\sigma'}{\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{\varepsilon\varepsilon_0}\Rightarrow \sigma'=-\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}\sigma
E\propto\sigma\Rightarrow \vec E'=-\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}\vec E
\vec P=\varepsilon_0(\varepsilon-1)\vec E\Rightarrow \vec P=-\varepsilon_0\vec E'\Rightarrow\nabla \vec P=-\varepsilon_0\nabla \vec E'
1 лайк
22

усложнил

hint 1: \nabla \cdot \vec D=\rho(x)=0

1 лайк
23

Ладно, не буду я вас тут мучить

Итак, запишем основные уравнения

\nabla\cdot\vec D = \rho, \qquad \vec D = \varepsilon_0\varepsilon\vec E, \\ \int_0^hE\space\text{d}x = U_0

Не забываем: в первом уравнении фигурирует плотность сторонних зарядов! Есть ли в пространстве между пластинами сторонние заряды? Нет. Значит \nabla\cdot\vec D=0[1], либо в направлении на одну ось

\frac{\partial D}{\partial x} = 0 \quad\Rightarrow\quad D =\text{const}.

Получается величина E у нас переменная, т.к. зависит от переменной \varepsilon, зато D постоянен. А значит можно получить выражение для D из третьего уравнения[2]:

\int_0^h\frac{D}{\varepsilon_0\varepsilon}\text{d}x = U_0 = \frac{D}{\varepsilon_0}\int_0^h(ax+b)\text{d}x=\frac{D}{\varepsilon_0}\frac{ah^2+2bh}{2} \quad\Rightarrow\\D=\frac{2\varepsilon_0U_0}{ah^2+2bh}.

Отсюда мы и можем получить зависимость напряжённости от x:

E = \frac{D}{\varepsilon_0\varepsilon} = \frac{2U_0}{h}\frac{ax+b}{ah+2b}.

Ну или же выразить модуль вектора поляризации \vec P:

P=D-\varepsilon_0E=D\left(1-\frac{1}{\varepsilon}\right)=D(1-ax-b).

В обоих случаях можно выразить плотность поляризации либо через \nabla\cdot\vec E=\displaystyle\frac{\rho'}{\varepsilon_0}, либо через \nabla\cdot\vec P = -\rho'. В любом случае мы получаем

\rho'=\varepsilon_0\cdot\frac{\partial E}{\partial x}=aD=\frac{2a\varepsilon_0U_0}{ah^2+2bh}=\text{const}.

Ещё, как можно было получить из предыдущих пунктов, b=1/\varepsilon_1 и a=\displaystyle\frac{1/\varepsilon_2-1/\varepsilon_1}{h}, тогда

\rho' = \frac{2\varepsilon_0U_0}{h^2}\cdot\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}.

  1. Впрочем, в официальном решении не используют понятия векторов смещения и поляризации, можете попробовать и сами решить задачу без них (хотя вы, в сущности, сделаете то же самое, что я и здесь сделал) ↩︎

  2. Обратите внимание на то, что интегрирование свелось к интегрированию линейной функции, чем и была мотивирована форма записи \varepsilon=(ax+b)^{-1}. Вообще говоря, на белорусских олимпиадах никогда не дают сложные интегралы, а если таковые и будут, то дадут подсказку в виде “площадь под графиком такой-то функции f(x) в таких-то пределах равен …”. Я бы даже сказал, что и для интегрирования линейной функции они либо дают подсказку в виде площади трапеции (усреднение крайних границ и умножение на ширину), либо говорят, что для суммирования справедлива формула x\Delta x=\displaystyle\frac{1}{2}\Delta(x^2). Но давайте просто признаем то, что это отчаянная попытка не выйти за пределы силлабуса, и всегда хорошо даже на олимпиадах такого уровня иметь очень хороший математический аппарат :grin: ↩︎

9 лайков
24

Спасибо!