Поле в диэлектрике

Физика
1

1
11280×248 34.7 KB

1) {D} = \text{const} \Rightarrow \varepsilon_0 E = \varepsilon_0 \varepsilon E_A \Rightarrow E_A = \frac{E}{\varepsilon}
2) \nabla \cdot \vec{P} = 0 \Rightarrow \text{Есть только поляризационные заряды на боках, поле которых в середине ноль.}

Какое решение верное? Почему?

1 лайк
2

@gemini-flash, ответь на вопрос @lukas

1 лайк
3

Привет, @lukas!

Это отличный вопрос, который часто вызывает путаницу, поскольку интуиция может подсказать неверный ответ, если не учитывать геометрию.

Давай разберем оба предложенных решения.

Анализ первого решения: E_A = \frac{E}{\varepsilon}

Первое решение основано на предположении, что электрическая индукция (или смещение) D остается постоянной при переходе через границу диэлектрика (что следует из D = \varepsilon_0 E, если приравнять D вне и внутри диэлектрика как \varepsilon_0 E = \varepsilon_0 \varepsilon E_A).

Эта логика верна в случае, если внешнее электрическое поле перпендикулярно поверхности диэлектрика (например, для плоской диэлектрической пластины, помещенной перпендикулярно полю). В этом случае нормальная составляющая вектора \vec{D} непрерывна на границе раздела сред (при отсутствии свободных зарядов).

Однако в твоей задаче поле \vec{E} направлено вдоль стержня. Это означает, что внешнее поле \vec{E} является касательным к боковым поверхностям стержня. Поэтому первое решение некорректно для данной геометрии.

Анализ второго решения: E_A = E

Второе решение утверждает, что E_A = E. Это правильный ответ для данного случая. Давай посмотрим на его обоснование.

Логика в решении 2: “\nabla \cdot \vec{P} = 0 \Rightarrow Есть только пов. заряды на боках, поле которых в середине \approx 0 \Rightarrow E_A = E” содержит верную идею, но требует уточнения в формулировке:

  1. \nabla \cdot \vec{P} = 0: Это означает, что объемные связанные заряды отсутствуют. В однородном диэлектрике, помещенном в однородное внешнее поле, объемные связанные заряды действительно равны нулю (если только диэлектрическая проницаемость не является функцией координат). Все связанные заряды будут поверхностными.
  2. “Есть только пов. заряды на боках”: Вот тут есть неточность. Поверхностные связанные заряды \sigma_b = \vec{P} \cdot \hat{n} (где \hat{n} — вектор нормали к поверхности) возникают на тех поверхностях, где вектор поляризации \vec{P} имеет нормальную составляющую. Поскольку поле \vec{E} (и, следовательно, \vec{P}) направлено вдоль стержня, то связанные заряды будут возникать на торцах стержня (где нормаль параллельна полю). На боковых поверхностях стержня (где нормаль перпендикулярна полю) связанные заряды не образуются.
  3. “поле которых в середине \approx 0”: Эта часть верна и является ключевой. Связанные заряды, образующиеся на торцах стержня, создают собственное “деполяризующее” поле внутри диэлектрика, которое направлено против внешнего поля. Однако для длинного и тонкого стержня, расположенного вдоль поля, влияние этих зарядов на поле в его середине (в точке А) становится пренебрежимо малым. В пределе бесконечно длинного стержня деполяризующее поле равно нулю, и поле внутри равно внешнему.

Корректное физическое обоснование:

Ключевым принципом здесь являются граничные условия для вектора напряженности электрического поля:

  • Касательная составляющая вектора \vec{E} непрерывна при переходе через границу раздела диэлектриков: E_{1t} = E_{2t}.

В данном случае внешнее однородное электрическое поле \vec{E} направлено вдоль тонкого стержня. Это означает, что внешнее поле \vec{E} является касательным к боковым поверхностям стержня.

Поскольку касательная составляющая поля непрерывна, то напряженность поля внутри стержня E_A будет равна напряженности внешнего поля E в области боковых поверхностей:

$$ E_A = E $$

Это условие доминирует для длинного стержня, расположенного вдоль поля, особенно в точках вдали от его торцов.

Вывод:

Второе решение (E_A = E) является верным. Напряженность поля внутри длинного тонкого диэлектрического стержня, расположенного вдоль однородного внешнего поля, в его центральной части, будет равна напряженности внешнего поля.

Твой вопрос демонстрирует глубокое понимание необходимости не просто применять формулы, а разбираться в их применимости к конкретным физическим ситуациям. Продолжай задавать такие вопросы, они развивают критическое мышление.

1 лайк
4

тут касательные не к чему

1 лайк
5

Второе неверно, так как поляризованные заряды по бокам разных знаков. Поэтому поле от них в середине не нулевое.

1 лайк
6

Но поскольку стержень тонкий, заряды на нём небольшие, а ещё он длинный, и вроде бы его полем можно пренебречь.

2 лайка
7

А нет, я ошибся. И вправду E_A = E

Проблема первого способа в том, что так можно найти только поле вблизи поверхности стержня. И так как поле не везде направлено по одной оси, из \nabla \cdot \vec E = 0 не следует \vec E = const внутри стержня, а потому и поле посередине не равно полю возле поверхности.

2 лайка