Овчинкин 2.59 Пружина с массой

На гладком столе лежит пружина с жесткостью k с начальной длиной l. Масса пружины M. К одному ее концу привязан лежащий на столе брусок массой m, а за другой пружину тянут с силой F. Определите относительное удлинение пружины, полагая жесткость ее достаточной, чтобы в любом сечении удлинение было мало в сравнении с первоначальной длиной.

Не понимаю, что делать дальше.

\tag{1} M \frac{L-x}{L}a = F - T(x)
\tag{2} T(x) = (m+\frac{Mx}{L}) a
\tag{3} k_1 = \frac{kl}{dx}
\tag{4} T(x) = k_1 \cdot d \Delta l

5 неизвестных, 4 уравнения. Пробовал интегрировать, одно лишнее слагаемое выходит.
Тут взял один кусок из пружины(х), так как оно имеет какую-то массу, на которую действует сила T(x) от всей пружины

1 симпатия

запиши силы, действующие на малый элемент пружины \text{d}l с жёсткостью \displaystyle k\frac{l}{\text{d}l}, на которую с обеих сторон действуют T и T+\text{d}T и поэтому этот элемент растягивается на \text{d}^2 l.

2 симпатии

Ну в своей формуле разве это и не написал, где я взял начиная с начиная с конца малую часть х и записывал на него силы

вместо первых двух формул я бы написал a=\displaystyle\frac{F}{M+m} и затем проинтегрировал dT=M\displaystyle\frac{dl}{l_0} (за конец пружины который тянут натяжение равно нулю). с использованием 3 и 4 уравнений ответ у тебя должен выйти тогда

1 симпатия


кажется еще какую то формулу нужно привести

пределы правильно возьми)

если l отсчитывать со свободного конца, то

\int^{l}_{0}M\frac{dl}{l_0} a=\int^T_FdT \quad\rightarrow\quad T=F\left(1+\frac{M}{M+m}\frac{l}{l_0}\right),

да, я тупанул, натяжение должно быть F здесь.

теперь находишь удлинение из соотношения T=\displaystyle\frac{kl_0}{dl} d(\Delta l) и интегрируешь

4 симпатии

Последний вопрос на проверку. Вот порешал уже 5 попытку с последним интегралом и там вышло вот так, но в задачнике другой ответ:

\frac{d \Delta l}{l_0} = \frac{F}{kl_0} \cdot \frac{2m + 3M}{2(m+M)}

Сам ответ:

1 симпатия

а, капец, в моём решении по идее нет никаких ошибок, но я забыл учесть, что приращение dT направлено в сторону, противоположную от моего выбора направления, т.е. ускорение a направлено в сторону силы F, и в таком случае надо записывать

dMa + dT = 0, \quad\rightarrow\quad T = F\left(1-\frac{M}{M+m}\frac{l}{l_0}\right)
5 симпатий

Теперь вышло, спасибо!