Прут 1.107 Гравитация с колебаниями

Физика Механика
1

7.107. Спутник Земли состоит из двух масс M1 и M2 соединен-
упругой конструкцией длины хо жесткости k (рис. 136). Для
перехода на новую орбиту включается двигатель с постоянной силой
тяги F, связанный с массой М1, в результате чего возникают коле-
бания системы. В какой момент и как надо изменить силу тяги, что-
бы погасить возникшие колебания? Как изменится при этом рас-
стояние между М1 и M2?

SmartSelect_20230706_193046_Adobe Acrobat
SmartSelect_20230706_193046_Adobe Acrobat1976×642 219 KB

SmartSelect_20230706_193053_Adobe Acrobat
SmartSelect_20230706_193053_Adobe Acrobat738×695 43.1 KB

Помогите ожалуйста с идеей, ВОТ все что я понял:
1)нужно поменять силу тяги во время того когда в процессе колебаний наступит положение в амплитуде,в которой массы сблизятся на мкасимальное расстояние.Тогда у нас нету скорости относительно тел относительно друг друга в системе отсчета центра масс (dx/dt=0) и наша пружинка не растягивается.
2)F’-kdx=M1a
kdx=M2a
где “а” ускорение центра масс системы
3)с системы уравнений выше выражаем F’
4)нам нужно найти амплитуду системы колебаний,для чего мы можем использовать изменение энергии dA(тяги)=dE,но для этого придется учитывать изменение потенциальной энергии гравитационного поля Земли,но не понятно на какой высоте (орбите) находились етла в начале и в конце,даже закн сохранения момента импульса писать тяжко
5)думаю можно решить через динамику и дифферинцирование и т.д. НО я незнаю как)
6)На заметку w=sqrt(k/M)
where M=M1M2/(M1+M2)

2

один из путей для нахождения амплитуды это записать уравнение движения одного тела относительно другого, решить это уравнение и найти значение в момент времени t=T/2

1 лайк
3

Можете пожалуйста помочь с уравнениями,я через центр масс решаю вроде что то выходит,но незнаю как относительно одного тела расписывать

4

распиши для обоих тел в лабараторной системе отсчета ускорения, а потом от одного отними другое. это и будет относительное уравнение движения

1 лайк
6

16887373900838093026809342635830
168873739008380930268093426358301920×1200 289 KB

16887374038624057192545691668031
168873740386240571925456916680311920×1200 298 KB

16887376107186671880334077272654
168873761071866718803340772726541920×1200 156 KB

У меня почему то вышло что сила должна быть в два раза меньше

7

на первой фотографии ты правильно получил

a_{12}= \frac{F}{m_1}- \frac{k}{μ}x_{12}
\ddot{x}_{12}+ ω²x_{12} = \frac{F}{m_1}

x_{12} это смещение первого тела относительно второго.
решение этого уравнения имеет вид

x_{12} (t)= \frac{F}{m_1ω²} + A\cos{(ωt+φ)}

A и φ ты найдешь из начальных условий (x_{12}(0), \dot{x}_{12}(0))
причем A это не есть удлинение через полпериода. нам нужно найти именно удлиннение пружины x_{12}(\frac{π}{ω})
если найдешь и подставишь в систему на нижней фотографии, должно получиться

4 лайка
8

Почему в первом уравнении знак поменялся?

9
x-x_0=(x_0+x_2-x_1)-x_0=x_2-x_1=-(x_1-x_2)=-x_{12}
3 лайка
10

кстати хотел дополнительно спросить,почему уравнение колебаний имеет вот такой вид? Я просто не знал что есть что то помимо x"+w2x=0

11

когда у тебя есть какая то дополнительная постоянная сила, то у тела появляется новое положение равновесия x_0, относительно которого оно колеблется. например в поле тяжести тело, подвешенное на пружине колеблется относительно положения kx_0=mg => x_0=mg/k
в этой же задаче у первого тела тоже появилось новое положение равновесия относительно второго. если изначально оно было равно длине недеформированной пружины, то после приложения силы оно стало равно \frac{F}{m_1ω²}

3 лайка